¿Escribir la expectativa del movimiento browniano condicionado a la filtración como una integral?

Question

Dejemos que $W_t$ sea un movimiento browniano, entonces $W_t=z_t \sqrt{t}$ donde $z_t \in N(0,1)$ y el pdf de $z$ es $f(z)=\frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}$ . Así que

$$E(W_t)=\int_{-\infty}^{\infty} W_t f(z) dz =\int_{-\infty}^{\infty} z \sqrt{t} \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} dz =\int_{0}^{\infty} (z+(-z)) \sqrt{t} \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} dz=0$$

Supongamos que ${\cal F}_t$ es el filtración natural para $W_t$ . Por construcción del movimiento browniano, se nos da que $E(W_t|{\cal F}_s)=W_s, 0\leq s\leq t$ .

Pregunta : ¿Cómo se escribe? $E(W_t|{\cal F}_s)$ como una expresión integral de Riemann similar a la expresión integral de Riemann de $E(W_t)$ ¿dado arriba?

Nota: He hecho una extensa búsqueda en Google sobre esto, sin encontrar ninguna exposición que responda. Si esta pregunta no viene al caso, por favor explique por qué. Si está en el punto, por favor responda con la expresión integral de Riemann.

Nota : Publicado de forma cruzada.

Answer 1

Dejemos que $(W_t)_{t \geq 0}$ denotan un movimiento browniano estándar y $\Bbb{F}=\{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}$ la filtración natural que genera sobre algún espacio de probabilidad $(\Omega, \Bbb{P})$ .

Por definición, sabemos que $$\forall 0 < s < t, W_t - W_s \sim \sqrt{t-s}\, N(0, 1)$$ en $\Bbb{P}$ .

Observando que $W_t = (W_t - W_s) + W_s$ y condicionando el conocimiento de $\mathcal{F}_s$ podríamos escribir además que $$ W_t \vert \mathcal{F}_s \sim N(W_s, t-s)$$

De tal manera que \begin{align} \Bbb{E}[W_t \vert \mathcal{F}_s] &= \int_{-\infty}^{+\infty} W_t p(W_t\vert\mathcal{F}_s) dW_t \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x - W_s}{\sqrt{t-s}}\right)^2\right) dx \tag{A}\\ &= \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} (x - W_s) \frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x - W_s}{\sqrt{t-s}}\right)^2\right) dx}_{=0} \dots \\ & \dots + W_s \int_{-\infty}^{+\infty}\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x - W_s}{\sqrt{t-s}}\right)^2\right) dx}_{=1} \\ &= W_s \end{align} donde $(A)$ es el resultado que buscas.

Tenga en cuenta que esta es básicamente la forma de escribir a mano: \begin{align} \Bbb{E}[W_t \vert \mathcal{F}_s] &= \Bbb{E}[W_t -W_s + W_s \vert \mathcal{F}_s] \\ &= \Bbb{E}[W_t -W_s \vert \mathcal{F}_s] + \Bbb{E}[ W_s \vert \mathcal{F}_s] \\ &= 0 + W_s = W_s \end{align}