Demostrar que $d\hat{W}_t = dW_t - \frac{1}{N_t} \cdot dN_t\cdot dW_t$ da un movimiento browniano bajo la medida de avance

Question

Dejemos que $N_t$ sea un numerario y $(W_t)$ sea el movimiento browniano estándar bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo $P$ .

Recordemos que la medida de avance $\hat{P}$ se define como la derivada de Radon-Nikodym: $$\frac{d\hat{P}}{d P} = e^{-\int_0^t r_s \,ds}\frac{N_t}{N_0}$$ donde $r_s$ es el tipo de interés sin riesgo.

Siempre que quiero cambiar la medida subyacente a la medida a plazo (tomar el bono como numerario), utilizo la ecuación $$d\hat{W}_t = dW_t - \frac{1}{N_t} \cdot dN_t\cdot dW_t.$$ Sin embargo, no soy capaz de demostrar que la ecuación anterior implica que $(\hat{W}_t)$ es un movimiento browniano bajo la medida de avance $\hat{P}$ .

Answer 1

Las dos ecuaciones que has proporcionado son incorrectas.

La primera ecuación debería decir:

$ \frac{d \hat{P} } {d P}(t) = \frac{N_t}{N_0} \frac{\beta_0}{\beta_t} $

donde $\beta_t = \exp \int_{0}^{t} r_s ds$ .

La segunda ecuación debe decir

$ d \hat{W}_t = d W_t - \sqrt{\frac{ d \langle N \rangle_t }{N^2_t}} dt $

Elegir $N_t = P_{tT}$ significa que tenemos

$ d \hat{W}_t = d W_t - \sigma_{tT} dt $

donde $\sigma_{tT}$ es el coeficiente de volatilidad del bono cupón cero.

Ahora se puede utilizar el teorema de caracterización de Levy para demostrar que $\hat{W}$ es un $\hat{P}$ -Movimiento browniano.