Si S(t) es un movimiento browniano geométrico, ¿cuál es la distribución de S(t+h)-S(t)?

Question

Supongamos que tenemos una Browniana geométrica $S(t)$ que sigue un proceso lognormal. Digamos que $$ \begin{equation} dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_tdW_t \end{equation} $$

Mi pregunta es cuál es la distribución de $S(t+h)-S(t)$ donde $h>0$ ?

Creo que esta es una pregunta estándar de libro de texto, pero no he encontrado nada relevante para ello todavía. Si es una pregunta duplicada por favor remítame a la que existe. Estoy trabajando en ella al mismo tiempo. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Interesante pregunta, ya que este problema es bastante famoso re precios de las acciones, creo. Así que investigué un poco al respecto y encontré esto: https://stats.stackexchange.com/questions/238529/the-sum-of-independent-lognormal-random-variables-appears-lognormal

Parece ser muy complejo y la suma (y por tanto la diferencia) de dos lognormales no es (generalmente) lognormal. Sin embargo, en algunos casos se aproxima como lognormal.

De todas formas, tu pregunta es más específica ya que se supone que S(t+h) y S(t) no son independientes, ya que es el mismo proceso estocástico, pero desplazado en el tiempo. Así que supongo, que se vuelve más complejo como ya lo es.