Estoy buscando un ejemplo sencillo que explique por qué la varianza como medida de riesgo puede ser problemática (con una cartera long-only sin opciones).
Aunque parezca una pregunta sencilla, puede que no esté tan claro.
Usted dice que una cartera a largo plazo sin opciones. Supongo que se refiere a una cartera de acciones. Como dices "sin opciones" no debería haber demasiada asimetría. Además, suponemos que su cartera está bien diversificada (sin pesos dominantes en acciones, países o sectores industriales concretos).
La siguiente pregunta es cuál es el objetivo de sus medidas de riesgo. Si se trata de clasificar carteras en el sentido de que la cartera A es más arriesgada que la cartera B o que mi cartera es más arriesgada o menos arriesgada si añado/quito una pequeña posición en la acción S, entonces yo diría:
Podemos estudiar otras alternativas a la varianza, pero con los objetivos y la naturaleza de su cartera antes mencionados, yo diría que la varianza está muy bien.
He aquí un sencillo ejemplo hipotético:
Cartera A = una única acción con un precio de 100 que puede pasar a 99 o 101 con una probabilidad de 0,5 en un año. La desviación típica anual es 1. La varianza es 1 .
Cartera B = una sola acción cotiza a 100 que puede subir a 90 o 110 cada una con probabilidad 0,005 o quedarse en 100 con probabilidad 0,99. La desviación típica anual es 1 y la varianza es 1 al cuadrado como antes.
La diferencia entre estas dos carteras no es evidente si se utiliza la varianza como única medida de riesgo. Por supuesto, se trata de un ejemplo muy teórico.
¿Cómo responde esto a la pregunta del OP por qué la varianza como medida de riesgo puede ser problemática ?
Este ejemplo ingeniosamente construido muestra dos distribuciones diferentes con la misma varianza pero distinta curtosis. Del mismo modo, se pueden construir dos distribuciones con la misma varianza pero diferente skweness. El punto es simplemente que la varianza puede no decirle todo acerca de la distribución que desea conocer.
Me sumo a las respuestas de @Richard y @dm63. También me gustaría proponer un escenario, en el que se supone que la varianza es estocástica, que demuestra cómo la varianza observada puede ser problemática como medida de riesgo.
Si suponemos que los rendimientos son un paseo aleatorio en forma de un proceso distribuido normalmente, entonces se deduce que la varianza es una medida completa de riesgo -- donde definimos el riesgo como una distribución probabilística de resultados aleatorios. Para rendimientos que se distribuyen normalmente, un proceso Numeraire arbitrario, $\mathbb{P}$ puede evolucionar según un proceso de Wiener:
$\mathbb{E}[\frac{d\mathbb{P}}{\mathbb{P}}] \to_{\text{discretization}} \ln(\frac{\mathbb{P}_t}{\mathbb{P}_{t-\Delta t}}) = \mu \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t}*dZ$
donde $dZ$ es un proceso de Wiener (por ejemplo, GBM).
Sin embargo, si suscribimos la noción de que la varianza es estocástica (por ejemplo, un proceso no estacionario de reversión de la media), entonces la expectativa puede reescribirse como tal:
$\mathbb{E}[\frac{d\mathbb{P}}{\mathbb{P}}] = \mu \Delta t + \sigma_t \sqrt{\Delta t}*dZ_1$
donde:
$d \sigma^2_t \propto \eta \,\sigma \sqrt{\Delta t}*dZ_2$
con:
$\langle dZ_1 \, dZ_2 \rangle = \rho \, dt$
donde: $\eta$ es la volatilidad de la volatilidad; y, $\rho$ es la correlación entre los rendimientos y las variaciones de $\sigma^2_t$ .
Esta configuración se utiliza habitualmente para calibrar los modelos de volatilidad GARCH, como se detalla en la conferencia de Jim Gatheral sobre " Volatilidad estocástica y volatilidad local "
La expectativa de varianza estocástica no es descabellada si se tienen en cuenta las colas gruesas observadas en los rendimientos de los valores debido a la "agrupación de la volatilidad" (es decir, los grandes movimientos tienden a ir precedidos y seguidos de grandes movimientos).
Si uno cree que la varianza (y/o los rendimientos esperados) son estocásticos, entonces también debería creer que la variación observada tenderá a proporcionar una medida incompleta de la variación a largo plazo (posterior). Esta creencia también implica que equilibrar la frecuentista ver con Bayseiano proporcionará una imagen más precisa de la variación posterior realizada.
Aunque puede que esta respuesta no sea la sencilla que usted pedía, creo que las ramificaciones de suponer la no estacionariedad son bastante sencillas. Además, las implicaciones son pertinentes incluso para una cartera exclusivamente a largo plazo sin exposición al apalancamiento ni a las opciones.
La clave de la metodología que proponemos es una medida de riesgo denominada déficit, que, según argumentamos, presenta ventajas conceptuales, computacionales y prácticas frente a otras medidas de riesgo de uso común. Se trata de una variación de la función de exceso medio y TailVaR mencionadas anteriormente
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Aunque las medidas de riesgo de varianza/covarianza se utilizan con frecuencia (al menos para la evaluación comparativa), hay casos en los que la medida de riesgo puede ser problemática. Por ejemplo, considérese una cartera de posiciones con una colección de instrumentos con distribuciones tanto normales como muy asimétricas. En este escenario, si el objetivo es evaluar las contribuciones del VaR, es probable que la varianza por sí sola no sea suficiente.