Cómo aprovechar la oportunidad de arbitraje de dos opciones

Question

Tengo la siguiente pregunta de la entrevista y su correspondiente solución, pero tengo un entendimiento diferente que puede ser erróneo, por lo que agradezco mucho su consejo al respecto:

Una opción de venta europea sobre una acción que no paga dividendos con un precio de ejercicio de 80 dólares tiene actualmente un precio de 8 dólares y una opción de venta sobre la misma acción con un precio de ejercicio de 90 dólares tiene un precio de 9 dólares. ¿Existe una oportunidad de arbitraje en estas dos opciones?

Solución: como el precio de una opción de venta en función del precio de ejercicio es una función convexa, y como una opción de venta con strike 0 no tiene valor, siempre tenemos $P(0)+aP(K) = aP(K)>P(aK)$ . Así que tenemos: $(8/9)*P(90) = (8/9)*9 = 8>P(80)$ Dado que la opción de venta con precio de ejercicio 80 dólares está actualmente cotizada a 8, está sobrevalorada y deberíamos ponerla en corto. La cartera de arbitraje global consiste en vender 9 unidades de put con $K=80$ y 8 unidades largas de put con $K=90$ . En el momento 0, el flujo de caja inicial es cero. En la fecha de vencimiento, tenemos tres escenarios posibles:

$S_T>=90$ ,payoff=0 (no se ejerce la opción de venta)

$90>S_T>=80$ , pago = $8*(90-S_T)>0$ (se ejercen puts con K=90)

$S_T<80$ , pago = $8*(90-S_T)-9*(80-S_T)>0$ (todas las opciones de venta se ejercen)

La recompensa final $>=0$ con probabilidad positiva. Así que es claramente una oportunidad de arbitraje.

Pero, ¿puedo entender la pregunta de la siguiente manera?

Creo que la opción de venta con strike 80 está infravalorada (en lugar de sobrevalorada), ¿por qué? porque: al utilizar $aP(K)>P(aK)$ mencionado anteriormente, tenemos: $(9/8)*p(80)>=p[(9/8)*80]=p(90)=8$ Así que tenemos $P(80)>=8$ Así que está por debajo de su precio. Me pregunto si estoy equivocado?

Answer 1

Creo que es mucho más fácil de entender con sólo dibujar los pagos. Tienes dos opciones de venta:

• Una opción de venta europea sobre una acción que no paga dividendos con precio de ejercicio precio de ejercicio 80 tiene un precio de 8 dólares, y
• una opción de venta sobre la misma acción con un precio de ejercicio de 90 dólares tiene un precio de tiene un precio de 9 dólares

La diferencia entre los dos pagos es igual a 10 dólares (el pago de la opción de venta de 90 excede en 10 el pago de la de 80) cuando ambas están en el dinero. Además, la opción de venta de 90 strikes paga algo en la región entre 80 y 90 y la opción de venta de 80 strikes no paga nada en esta región. Ahora hay dos formas de proceder para crear un arbitraje: 1) coste cero, pago positivo, 2) coste negativo, pago no negativo. vamos con la primera:

La compra de 8 opciones de 90 strikes costará 8 veces 9=72, la venta de 9 opciones de 80 strikes generará la misma cantidad (9 veces 8=72). Por tanto, el coste de la estrategia es cero. El diagrama de resultados es el siguiente:

PD: Y para la lógica de la convexidad, si se trazan los precios de las opciones dadas en función del strike, se obtiene una línea recta. La convexidad implicaría que el precio del strike 80 debería ser ligeramente inferior?