Nota: como pregunta interdisciplinar, tiene su gemelo en el Intercambio de Matemáticas: https://math.stackexchange.com/questions/4193896/why-the-definition-of-productive-economy-in-leontief-open-model-is-such . Allí podrá encontrar algunas ideas potencialmente útiles.
El modelo abierto (de producción) de Leontief es un modelo económico simplificado para una economía en la que el consumo es igual a la producción, o el input es igual al output.
En este modelo, las entradas de la matriz de consumo representan valores monetarios no negativos (en alguna unidad monetaria arbitraria) de varios tipos de productos (como mercancías o servicios). Cada $(i,j)$ a entrada de la matriz de consumo es el valor monetario de la producción de $i$ de la industria que necesita la $j$ a la industria para producir una unidad monetaria de su propia producción. Esto significa que la matriz de consumo arbitraria, comúnmente denotada $C$ puede representarse en forma de tabla de entrada-salida: 
Por ejemplo, para obtener una unidad de producción de la industria 3 se necesita $c_{13}$ unidades de producción de la industria 1, así como $c_{23}$ de la producción de la industria 2, y $c_{33}$ de la producción de la industria 3 (es decir, ella misma).
El sector abierto, en este contexto, se refiere al consumidor externo cuyas demandas deben ser satisfechas y sus demandas están representadas en el modelo por un tipo especial de vector de columnas donde cada $i$ corresponde al valor monetario no negativo de la producción requerida por el consumidor externo del $i$ a la industria. Estos vectores columna se denominan vectores de demanda y estos vectores individuales se suelen denotar $D$ (con "d" mayúscula) o $\textbf{d}$ (negrita "d" minúscula).
Producción total asociada a una determinada matriz de consumo $C$ y algún vector de demanda $D$ en este modelo está representado por un vector de columnas donde cada $i$ es un valor monetario no negativo de la producción de $i$ La industria requiere que se produzca para satisfacer las necesidades del consumidor externo. Estos vectores columna se denominan vectores de producción y se denominan comúnmente $X$ o $\textbf{x}$ .
Estas tripletas de matrices asociadas (vector de producción $X$ , matriz de consumo $C$ y el vector de la demanda $D$ ), partiendo del supuesto de que la producción es igual a la suma de la demanda/consumo interno y externo, se relacionan mediante la ecuación matricial \begin{equation} X = CX + D \end{equation} donde $CX$ es el consumo interno.
En este modelo, una economía es productiva por definición si para su matriz de consumo $C$ existe la inversa de Leontief $(I-C)^{-1}$ y $(I-C)^{-1} \geq 0$ .
Aquí viene la parte rara.
Se dice que una matriz de consumo C es productiva si $(I C)^{1}$ existe y $(I C)^{1}$ 0
La matriz $(I-C)^{-1}$ incluso tiene su propio nombre, inverso de Leontief, pero aún no tengo claro por qué es necesario que exista.
Según Derrick Chung,
Una economía es productiva si puede satisfacer cualquier demanda externa. En otras palabras, para cualquier D, existe un X tal que X CX = D con X 0 (es decir, X sólo contiene entradas no negativas)
y justo debajo hay una definición análoga con la inversa de Leontief. ¿Por qué una economía no puede considerarse productiva si $X(I C) = D$ (sin requerir la matriz $(I-C)$ sea invertible)? O, lo que es lo mismo, ¿por qué la relación entre $X$ y $D$ sea biyectiva? ¿O tiene algo que ver con los valores propios?
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No estoy seguro de entender la pregunta, es sólo terminología, a mí me suena como preguntar por qué las rocas se llaman rocas y no otra cosa. En el modelo de Leontief la economía sólo es productiva si todos los sectores son rentables si la matriz no es invertible, no lo son. Es sólo la terminología utilizada en este contexto, en realidad en la macroeconomía más amplia la productividad se define incluso de forma diferente (es decir, productos/insumos). El modelo de Leontief tiene su propia taxonomía, yo no le daría demasiada importancia.
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@1muflon1 ¡Esa es precisamente la respuesta que quería! Todavía tengo que averiguar por qué la singularidad de $(I-C)$ implica que hay al menos un sector no rentable, pero eso es mucho más intuitivo que la existencia de la inversa positiva de Leontief.