¿Cómo encontrar el pago mensual de una renta vitalicia simple ordinaria con tipos de interés variables?

Question

Llevo un tiempo trabajando en esta cuestión y estoy bastante atascado. Se agradecería una ayuda. Puedo calcular los pagos recurrentes por sí mismos, pero me quedo en blanco cuando se trata de anualidades y tipos de interés variables.

Una mujer ha alcanzado la edad de jubilación de 65 años el 15 de octubre de 2015. Invierte 300.000 dólares y compra una renta vitalicia con pagos mensuales, el primer pago que vence el 15 de noviembre de 2015 y el último pago vence el 15 de julio de 2039. ¿Qué tamaño de pago mensual recibe si el tipo de interés es j(12) = 6% durante los primeros 5 años y j(12) = 3,9% a partir de entonces?

De nuevo, gracias por su ayuda.

Answer 1

Tomando primero un caso sencillo, basado en el ejemplo de aquí: Cálculo del valor actual de una anualidad ordinaria .

Si los dos primeros períodos tuvieran un tipo de interés del 10%, el cálculo sería

pv = 1000 (1/1.1^1 +
           1/1.1^2 +
           1/(1.1^2*1.05^1) +
           1/(1.1^2*1.05^2) +
           1/(1.1^2*1.05^3)) = 3986.16

o

donde

m = 2
n = 5 - m
c = 1000
r1 = 0.10
r2 = 0.05

Por inducción

Consulte

pv = ((1 + r1)^-m (1 + r2)^-n (-c r1 + 
     c (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2)))/(r1 r2) = 3986.16

Ahora aplicando esta fórmula al caso del OP. De octubre de 2015 a julio de 2039 son 285 meses.

m = 60
n = 285 - m = 225
r1 = 0.06/12
r2 = 0.039/12
pv = 300000

pv = ((1 + r1)^-m (1 + r2)^-n (-c r1 + 
     c (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2)))/(r1 r2)

∴ c = (pv r1 (1 + r1)^m r2 (1 + r2)^n)/(-r1 +
      (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2))

∴ c = 1765.57

Suponiendo que los tipos de interés sean nominal compuesto mensualmente El pago mensual es de 1765,57 dólares.

Answer 2

Otra forma de ver la transacción para llegar a la respuesta correcta de @Chris Degnen:

Considere que la inversión original de 300.000 dólares se divide en dos cantidades.

La primera, A1 se utiliza para financiar una renta vitalicia ordinaria de cinco años, realizando pagos mensuales de R con un tipo de interés del 6% anual, compuesto mensualmente.

Así que:

A1 = R x (1-1,005^-60) / 0,005 = 51,72556075 x R

El saldo de los 300.000 dólares, A2 se deja crecer durante 60 períodos al 0,5% por período, de modo que se convierte en A3 :

A3 = A2 x 1,005^60 = 1,348850153 x A2

Este importe A3 se utiliza entonces para financiar una renta vitalicia ordinaria de 225 meses de R al mes al 3,9% compuesto mensualmente:

A3 = R x (1-1,00325^-225) / 0,00325 = 159,4221506 x R

Entonces, a partir de estos dos resultados:

A2 = A3 / 1,348850153 = 159,4221506 x R / 1,348850153 = 118,1911499 x R

Así que:

A1 + A2 = 300000 = 51,72556075 x R + 118,1911499 x R = 169,9167107 x R

Pues eso:

R = 300000/169.9167107 = 1765.5709