Notación de correspondencia de elección

Question

Mi pregunta es sobre la siguiente notación:

He observado en varios lugares (por ejemplo aquí (página 15) y aquí (página 1)) que diferentes autores utilizan diferentes notaciones para correspondencias de elección . Dado un conjunto $X$ de objetos que pueden ser elegidos y una colección de subconjuntos no vacíos $\mathcal{A}$ del conjunto de potencias de $X$ , algunos utilizan

1. $c:\mathcal{A} \rightarrow 2^{X}\backslash \emptyset$ (como en el segundo enlace)
2. $c:\mathcal{A} \rightarrow 2^{X}\backslash \{ \emptyset\}$ (como en el primer enlace)

Ambos quieren expresar que el codominio de la correspondencia de elección debe incluir todos los subconjuntos no vacíos del conjunto de potencias de X, es decir, desde cualquier menú de opciones, se debe elegir algo.

Mi pregunta es, ¿cuál es la forma correcta de definirlo? Claramente, ya que $\emptyset \neq \{\emptyset\}$ ambas definiciones no pueden ser equivalentes.

Mi intuición me diría que de la lista anterior, (1) es la correcta. Por ejemplo, si $X=\{\text{pasta (p)}, \text{chicken (c)}, \text{sushi (s)}\}$ , entonces el conjunto de potencias de $X$ es:

$$ 2^{X}=\Bigg\{\emptyset, \{p \}, \ \{c \}, \{s \}, \{p,c \}, \{p,s \} , \{c,s \}, \{ p,c, s\} \Bigg\} $$

Como quiero "sacar" el conjunto vacío de $2^{X}$ para que la elección de cualquier subconjunto no vacío de $X$ es a su vez no vacía, y como $\{\emptyset\} \notin 2^{X}$ , debe ser

$$ c:\mathcal{A} \rightarrow 2^{X}\backslash \emptyset $$

Gracias por las respuestas.

Answer 1

"1." es incorrecto y "2." es correcto, ya que (véase por ejemplo Wolfram ):

$$A \setminus B = \{x: x \in A \text{ and } x \notin B\}$$

Digamos, por ejemplo, que tenemos $S = \{a, b, c\}$ y $T = \{b,c\}$ .

Entonces escribiríamos $S \setminus \{a\} = T$ . NO escribimos $S \setminus a = T$ .

Y así, en general, para cualquier set $S$ , $S\setminus \emptyset =S$ .

Escribimos $2^{X}\backslash \{\emptyset\}$ porque $\emptyset \in 2^X$ . En cambio, tenemos $2^{X}\backslash \emptyset = 2^{X}$ .

Ejemplo. El conjunto $S$ contiene cuatro elementos: el conjunto vacío, un elemento llamado $a$ el conjunto que contiene el conjunto vacío, y el conjunto que contiene $a$ .

$$ S=\Bigg\{\emptyset,a,\{\emptyset \},\{a \}\Bigg\}. $$

Entonces tenemos:

$$ \begin{align} S \setminus \emptyset & = S \\ S\setminus\{\emptyset\}& = \Bigg\{a,\{\emptyset \},\{a \}\Bigg\}, \\ S\setminus\{\{\emptyset\}\}& = \Bigg\{\emptyset,a,\{a \}\Bigg\}, \\ S\setminus\{a\}& = \Bigg\{\emptyset,\{\emptyset \},\{a \}\Bigg\}, \\ S\setminus\{a,\{\emptyset\}\}& = \Bigg\{\emptyset,\{a \}\Bigg\}, \\ S\setminus\{\{a,\emptyset\}\}& = S. \end{align} $$

La última ecuación es cierta porque $S$ no contiene el conjunto $\{a,\emptyset\}$ .

Véase Enderton, en particular p.3, párrafo superior -- merece la pena dedicar un poco de tiempo aunque sólo sea al primer capítulo.