Problema de simultaneidad: uso de variables instrumentales y prueba

Question

El siguiente modelo determina de forma conjunta las pensiones alimenticias mensuales y los derechos de visita mensuales de las parejas divorciadas con hijos:

$$support = d_1 + g_1 visits + d_1 finc + d_1 fremarr + d_1 dist + u_1$$ $$visits = d_2 + g_2 support + d_2 mremarr + d_2 dist + u_2$$

A efectos expositivos, supongamos que los hijos viven con sus madres, por lo que los padres pagan la manutención de los hijos. Así, la primera ecuación es la ''función de reacción'' del padre: describe la cantidad de manutención pagada para cualquier nivel de derechos de visita y las otras variables exógenas finc (ingresos del padre), fremarr (indicador binario si el padre se ha vuelto a casar), y dist (millas actualmente entre la madre y el padre). Del mismo modo, la segunda ecuación es la función de reacción de la madre: describe los derechos de visita para un importe determinado de la pensión alimenticia; mremarr es un indicador binario de si la madre se ha vuelto a casar.

a. Discutir la identificación de cada ecuación.

b. ¿Cómo estimarías cada ecuación utilizando un método de ecuación única?

c. ¿Cómo comprobaría la endogeneidad de las visitas en la función de reacción del padre?

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Me gustaría que me ayudaran con toda la cuestión y que comprobaran mi razonamiento al respecto, gracias:

a)la identificación no es posible debido a la simultaneidad (que provoca endogeneidad)

b)a través de la variable instrumental (posible elección (fremarr y mremarr) o ( dist)

c) mi única idea era estimar las visitas a través de OLS y luego utilizar la prueba de Hausman entre OLS y IV

¿Es correcto el planteamiento? ¿Cómo puedo responder a C de forma alternativa?

Answer 1

Para aclarar la notación, y tratando sumariamente las otras variables tenemos un sistema

$$y = a_0 +a_1x + \mathbf w_1'\gamma_1 + u_1 \\ x = b_0 + b_1y + \mathbf w_2'\gamma_2 + u_2$$

Si $b_1 \neq 0$ y luego resolver para $x$ obtenemos

$$ x = b_0 + b_1(a_0 +a_1x + \mathbf w_1'\gamma_1+ u_1) + \mathbf w_2'\gamma_2 + u_2 \\ \implies x = c + \mathbf w_1'\frac {\gamma_1}{1-a_1b_1}+\frac {b_1}{1-a_1b_1}u_1 + \mathbf w_2'\frac {\gamma_2}{1-a_1b_1}+\frac {1}{1-a_1b_1}u_2$$

y $x$ está correlacionada con $u_1$ en la primera ecuación, por lo que es endógena (obtendríamos un resultado análogo si resolviéramos para $y$ -sería endógena en la segunda ecuación). Históricamente, éste es el problema de endogeneidad "original", el que se detectó en los años 20 al estudiar el equilibrio del mercado, donde la suposición de que el mercado está despejado creó la endogeneidad. Es decir, no se trata del habitual problema de endogeneidad de "variables omitidas", sino de la forma de endogeneidad debida a la "simultaneidad".

Así que la endogeneidad de $x$ depende de $b_1\neq 0$ . Pero al ejecutar OLS en la segunda ecuación y probar si $b_1=0$ no es válido, porque, como se ha dicho, $y$ es endógena en la segunda ecuación, por lo que la estimación OLS no es fiable, siendo inconsistente.
Esto es un poco sutil. Queremos prueba $b_1 =0$ por lo que bajo la hipótesis nula $y$ no pertenece a la segunda ecuación. Pero la inferencia utilice $y$ mismo. Esto significa que si el nulo es rechazado el rechazo no es fiable, porque si el nulo no es verdadero, entonces $b_1 \neq 0$ y automáticamente el estimador, las pruebas t, etc. se vuelven inconsistentes.

La pregunta pide que se compruebe la endogeneidad en la primera ecuación, por lo que lo evidente es buscar un instrumento, o instrumentos, para $x$ y luego, por ejemplo, aplicar el Prueba de Hausman en el primero ecuación.

Supongamos que aplicamos la prueba de Hausman en la segunda ecuación, como sugiere el OP. Esto significaría la búsqueda de instrumentos para $y$ . Aquí si el nulo es no rechazado, significaría que $y$ no está correlacionado con $u_2$ . Pero de esto no se deduce necesariamente que $b_1\neq 0$ y por lo tanto no garantiza que $x$ no está relacionado con $u_1$ . Si se rechaza el nulo, significa que $y$ está correlacionada con $u_2$ . Pero esto podría ocurrir por cualquier otra razón, no necesariamente debido a la simultaneidad. Así que las pruebas de endogeneidad deben realizarse en la primera ecuación.

Nótese que, en realidad, la prueba de Hausman en la estimación IV tiene como hipótesis nula que tanto el estimador OLS como el IVE son consistentes. Si se rechaza la nula, sólo nos dice que al menos uno de los dos es inconsistente . No puede decirnos cuál, y no puede garantizar que no sean inconsistentes ambos: La prueba de Hausman es más informativa y específica en sus conclusiones cuando no se rechaza la nula, que cuando se rechaza la nula. (Este es un punto que no suele destacarse claramente en la literatura, aunque existen comentarios laterales y notas a pie de página en este sentido).