¿En qué condiciones la cartera de varianza mínima no implica ventas en corto?

Question

Si $\rho_{12} < 1$ o $\sigma_1 \not= \sigma_2$ entonces $\sigma_v^2$ que representa la varianza de la cartera con ponderaciones $(w_1, w_2) = (s, 1-s)$ en función de $s$ alcanza su valor mínimo en: $$ s_0 = \frac{\sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_2\rho_{12}}{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\sigma_1\sigma_2\rho_{12}} $$ ¿En qué condiciones en $\sigma_1$ , $\sigma_2$ y $\rho_{12}$ ¿la cartera de varianza mínima no implica la venta en corto?

$\rho$ es el coeficiente de correlación y $\sigma$ es la desviación estándar. El cuadrado es la varianza. No estoy seguro de lo que significa esta pregunta.

Answer 1

Hay dos condiciones: $W_1=s_0$ tiene que ser no negativo, lo que significa que $\sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_2\rho \ge 0$ que se simplifica en $\sigma_2 \ge \sigma_1 \rho$ . (He asumido que $\sigma_2 \ne 0$ ).

La segunda condición es que $W_2=1-s_0$ también tiene que ser no negativo, es decir $s_0 \le 1$ . Así que $\sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_2\rho \le \sigma_1^2+\sigma_2^2-2\sigma_1\sigma_2\rho$ . Lo que se reduce a $\sigma_1 \ge \sigma_2 \rho$ . (De nuevo, asumiendo $\sigma_1 \ne 0$ ).

Las dos condiciones son agradablemente simétricas, y pueden combinarse en la siguiente afirmación

$ \rho\le \frac{\sigma_2}{\sigma_1}, \rho\le \frac{\sigma_1}{\sigma_2} $

(Sólo una de estas dos condiciones, la de menor ratio, será vinculante. Podríamos decir $\rho \le \frac{\sigma_{small}}{\sigma_{big}}$ una vez que sepamos qué vol es más grande y qué es más pequeño).

Answer 2

Cuando el numerador es positivo, entonces se obtiene rho.