Esperanza condicional de incrementos de un proceso estocástico

Question

Me encontré con el siguiente resultado en mi libro sobre finanzas estocásticas y tengo problemas para entender la demostración.

En un espacio de probabilidad filtrado con filtración $(\mathcal{F}_t)_{t \in \mathbb{R}^+}$, cualquier proceso estocástico integrable $(X_t)_{t \in \mathbb{R}^+}$ con incrementos centrados e independientes es un martingala.

La demostración es la siguiente.

Para $0 \leq s \leq t$, tenemos $$\begin{align} E[X_t \vert \mathcal{F}_s] &= E[X_t - X_s + X_s \vert \mathcal{F}_s]\\ &= E[X_t - X_s \vert \mathcal{F}_s] + E[X_s \vert \mathcal{F}_s]\\ &= E[X_t - X_s] + X_s\\ &= X_s \text{.} \end{align}$$

En la tercera igualdad, no entiendo por qué $E[X_t - X_s \vert \mathcal{F}_s] = E[X_t - X_s]$. La única explicación que puedo encontrar es que tiene que ver con el hecho de que los incrementos son independientes, pero no veo exactamente cómo está relacionado. Había entendido que $E[Y_t] = E[Y_t \vert \mathcal{F}_0]$ para cualquier proceso estocástico $(Y_t)_{t \in \mathbb{R}^+}$, pero aquí es $E[X_t - X_s] = E[X_t - X_s \vert \mathcal{F}_s]$ (por lo tanto, condicional a $\mathcal{F}_s$ en lugar de $\mathcal{F}_0$).

Answer 1

Dado que el proceso tiene incrementos independientes, el incremento $X_t - X_s$ es independiente de $X_s - X_0$. Así que su estimación de $X_t - X_s$, basada en la información aprendida al observar el proceso hasta el tiempo $s$, $\mathbb{E}[X_t - X_s|\mathcal{F}_s]$, es tan buena como no tener información alguna, es decir $\mathbb{E}[X_t - X_s]$. Esta es una propiedad bien conocida de la expectativa condicional.

Si $X$ es independiente de $\mathcal{F}_t$, simbólicamente escrito como $X \perp \mathcal{F_t}$, entonces $\mathbb{E}[X|\mathcal{F_t}] = \mathbb{E}[X]$.

Answer 2

Generalmente, esta prueba se aprende en el contexto del movimiento Browniano, pero funciona de la misma manera con procesos que tienen incrementos independientes.

$\mathcal{F}_s$ se llama la filtración y contiene toda la información de los eventos hasta el tiempo $s$. Y así si estás calculando una probabilidad o expectativa que es independiente del pasado, "eliminas" el pasado (el condicional).

Es la misma idea de que, si $A$ y $B$ son independientes entonces $P(A|B) = P(A)$ y $E(A|\sigma(B)) = E(A)$.