Quiero derivar una ecuación diferencial parcial tipo Black-Scholes para valorar opciones sobre un activo que sigue un proceso de reversión media (modelo de Schwartz).
Mi intento sigue la metodología de derivar la EDP de Black-Scholes, pero utilizando un proceso de reversión de la media para describir el activo en lugar de un movimiento browniano geométrico:
Dejemos que $S$ siguen un proceso estocástico de reversión de la media $$ S = \kappa(\mu-\ln S)S dt + \sigma SdW $$ y que $V=V(S,t)$ denotan el valor de la opción. A partir del lema de Itô tenemos $$ dV=\left(\frac{\partial V}{\partial t}+\kappa(\mu-\ln S)S\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt+ \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} dW_t. $$
Realicemos una cobertura delta, es decir, construyamos una cartera $\Pi=-V+\frac{\partial V}{\partial S} S$ . Vemos que $$ d\Pi = \left(\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt, $$ y como la cartera $\Pi$ no implica ningún riesgo, debe ganar el tipo de interés sin riesgo, es decir $$ d\Pi = r\Pi dt= r\left(-V+\frac{\partial V}{\partial S} \right)dt. $$ Así, tendremos una EDP de la forma $$ \frac{\partial V}{\partial t} +rS\frac{\partial V}{\partial S} +\frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial ^2V}{\partial S^2}-rV=0, $$ que es la EDP regular de Black-Scholes.
¿Es esto correcto, o dónde me equivoco?
Creo que el PDE debería ser $$ \frac{\partial V}{\partial t} +\kappa\left(\mu - \lambda-\ln S\right)S\frac{\partial V}{\partial S} +\frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial ^2V}{\partial S^2}-rV=0, $$ donde $\lambda$ es el precio de mercado del riesgo. Esta forma de la EDP puede encontrarse en este puesto por ejemplo.
