Demuestre que la relación de precios de los dividendos es un proceso ARMA(p, q)

Question

Dejemos que el crecimiento logarítmico de los dividendos evolucione según $\Delta d_{t+1} = \epsilon_{d, t+1}$ donde $\epsilon_{d, t+1}$ es sólo ruido blanco. Dejemos que los retornos logarítmicos sean $r_{t+1} = x_t + y_t + \epsilon_{r, t+1}$ donde $x_t = b_x x_{t-1} + \delta_{x, t}$ y $y_t = b_y y_{t-1} + \delta_{y, t}$ y $\epsilon_{r, t+1}$ , $\delta_{x, t}$ y $\delta_{y, t}$ son todos ruido blanco. Resuelva la relación de precios de los dividendos, $d_t - p_t$ y demostrar que es un $ARMA(p, q)$ proceso, encontrar $p$ y $q$ .

Lo que hice fue empezar con la famosa descomposición Campbell-Shiller: $d_t - p_t = E_t \sum_{j=1}^{\infty} \rho^{j-1}(r_{t+j} - \Delta d_{t+j})$ y se puede demostrar fácilmente que $E_t(r_{t+j}) = b_x^{j-1} x_t + b_y^{j-1} y_t$ y $E_t(\Delta d_{t+j}) = 0$ y así obtenemos

$$d_t-p_t = \frac{x_t}{1-\rho b_x} + \frac{y_t}{1-\rho b_y} $$

Ahora estoy atascado tratando de demostrar que se trata de un proceso ARMA(p, q). Lo que he intentado es sustituir en $x_t$ y $y_t$ para conseguirlo:

$$d_t - p_t = b_x \frac{x_{t-1}}{1-\rho b_x} + b_y \frac{y_{t-1}}{1-\rho b_y}+ \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y}$$

Pero estoy atascado en la manipulación de la RHS para formar un $d_{t-1} - p_{t-1}$ En concreto, sé que $d_{t-1}-p_{t-1} = \frac{x_{t-1}}{1-\rho b_x} + \frac{y_{t-1}}{1-\rho b_y}$ pero los coeficientes $b_x$ y $b_y$ en el RHS dificulta las cosas.

EDIT: He trabajado un poco más y esto es lo que he hecho:

\begin{align*} d_t - p_t & = \frac{x_t}{1-\rho b_x} + \frac{y_t}{1-\rho b_y} \\ & = \frac{b_x x_{t-1} + \delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{b_y y_{t-1} + \delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \\ & = b_x \frac{x_{t-1}}{1-\rho b_x} + b_y \frac{y_{t-1}}{1-\rho b_y} + \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \\ & = b_x\left(d_{t-1} - p_{t-1} - \frac{y_{t-1}}{1-\rho b_y} \right) + b_y\left(d_{t-1} - p_{t-1} - \frac{x_{t-1}}{1-\rho b_x} \right)+ \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \\ & = (b_x + b_y)(d_{t-1} - p_{t-1})-b_x\left(\frac{b_y y_{t-2} + \delta_{y, t-1}}{1-\rho b_y} \right)-b_y\left(\frac{b_x x_{t-2} + \delta_{x, t-1}}{1-\rho b_x} \right) + \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \\ & = (b_x + b_y)(d_{t-1} - p_{t-1}) - b_xb_y\left(\frac{x_{t-2}}{1-\rho b_x} + \frac{y_{t-2}}{1-\rho b_y} \right) - b_x \frac{\delta_{y, t-1}}{1-\rho b_y}- b_y \frac{\delta_{x, t-1}}{1-\rho b_x}+ \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \\ & = (b_x + b_y)(d_{t-1} - p_{t-1}) - b_xb_y(d_{t-2} - p_{t-2}) - b_x \frac{\delta_{y, t-1}}{1-\rho b_y}- b_y \frac{\delta_{x, t-1}}{1-\rho b_x}+ \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \end{align*}

Así que parece que hay dos retrasos para $d_t-p_t$ pero no estoy seguro de cómo manipular los términos de la media móvil...

Answer 1

Hola: No sé de dónde has sacado la expresión de $d_{t-1} - p_{t-1}$ pero suponiendo que sea cierto, entonces creo que básicamente estás ahí. Toma tu expresión final y considera primero los dos términos de ruido blanco retardado. Se pueden sumar para formar un término de ruido blanco retardado porque estoy bastante seguro de que la suma de dos procesos de ruido blanco sigue siendo ruido blanco. Del mismo modo, los dos términos de ruido blanco no retardado pueden sumarse para formar un término de ruido blanco no retardado. Así que, usted termina con un MA(1) por lo que toda la expresión es ARMA(2,1). Es cierto que la parte de MA(1) tendrá algunos coeficientes constantes complicados tanto en el término retardado como en el no retardado, pero no son muy importantes. Además, siempre se puede normalizar para que el coeficiente no retardado de la pieza MA(1) sea 1,0. Si tú o alguien piensa que este razonamiento es erróneo, házmelo saber porque no le veo el fallo y soy todo oídos. Gracias.

$\boldsymbol{EDIT}$

Elbarto: He tratado bastante con modelos ARIMA en los últimos 5-6 años, así que esto me preocupaba y seguí con ello. Resulta que ( después de muchas lecturas que pueden haber estado en mi subconsciente inicialmente ) que los 4 últimos términos de tu expresión original sí representan un proceso MA(1). El error que cometí es que mi argumento era el-wrongo. El siguiente es el argumento que se utiliza en los textos de la literatura para mostrar a qué proceso se reduce cualquier "proceso" de tipo ARIMA.

1) Construir las autocorrelaciones en cada retardo del proceso.

2) Si ese cálculo da como resultado una forma funcional que se comporta de la misma manera (en términos de su forma) que algún modelo ARIMA bien conocido, entonces el proceso desconocido original es equivalente a ese proceso bien conocido.

Lamentablemente, no pudimos derivar el proceso fue utilizando su metodología que es más directa y, para mí, más intuitiva. Los argumentos 1) y 2) anteriores se derivan del hecho de que cualquier modelo ARIMA estacionario e invertible tiene un mapeo 1 a 1 entre los parámetros del modelo y las autocorrelaciones del mismo. Por lo tanto, si se conoce la forma de autocorrelación, se conoce el proceso. No estoy absolutamente seguro de que la parte estacionaria del teorema sea necesaria y, de hecho, ni siquiera sé si es un teorema real. Sólo lo considero un teorema, pero es cierto. La mejor analogía de este argumento sería conocer la respuesta al impulso en el marco del DSP. Aun así, por la intuición, me gusta más tu enfoque.

Así que, para abreviar, utilizando este enfoque, tome esos 4 términos como un proceso ARIMA desconocido y calcule su autocorrelación. Dado que ese proceso tiene claramente una autocorrelación distinta de cero en el lag 1 y cero después, es un proceso MA(1). Este es un caso específico del argumento genérico utilizado en la literatura, pero es ligeramente insatisfactorio dado que tu método también parece bastante razonable. Mi pensamiento es que el teorema del mapeo uno a uno debe ser equivalente a lo que tú (y yo después) estábamos tratando de hacer.

Por último, si quieres molestarte ( yo no quería), podrías calcular la autocorrelación de ese proceso de 4 términos. Será alguna función de los tres parámetros. Entonces pon esa función igual a $\frac{\theta}{(1+\theta^2)}$ y con suerte ( a mí me pareció feo y probablemente me equivocaría en alguna parte aunque pudiera molestarme) resolver para $\theta$ . Esto implica que el proceso de cuatro términos es un MA(1) con parámetro $\theta$ . De todos modos, la utilidad de calcularlo es que entonces tendrías $\theta$ en función de los demás parámetros: $b_{x}$ , $b_{y}$ y $\rho$ .

Con eso en la mano, puede quedar más claro cuál es el argumento algebraico que mostraría lo mismo ??? Debemos estar pensando en ello de alguna manera incorrecta que no puedo ver (un problema de normalización de escala tal vez ?).

Ahora estoy razonablemente satisfecho, así que si no se puede molestar, lo entiendo. Todo lo mejor y gracias por la pregunta limpia. He aprendido algo de ti y también durante mi viaje en Google.

$\boldsymbol{Last~~ Comment}$

Elbarto: Sólo una última cosa. Ten en cuenta que el mismo argumento de autocorrelación podría haberse utilizado para la expresión completa que incluye el término AR(2). No tengo ni idea de lo difícil que es eso, pero no es ni mucho menos tan fácil como el MA(1) porque ahora el ACF se extingue lentamente u oscila dependiendo de las raíces. De hecho, apuesto a que sería mucho más trabajo que el que hiciste para mostrar el AR(2) directamente, así que no vale la pena.