Heteroscedasticidad estimador de varianza dirección de sesgo

Question

Si tengo un modelo con un problema de heterocedasticidad, ¿puedo determinar la dirección del sesgo del estimador de varianza de los coeficientes?

Pensaría que al corregirlo con MCO ponderado obtendría el MCOU (Mejor Estimador Lineal Insesgado) lo que significa que el estimador de varianza es el más pequeño para coeficientes no sesgados, pero estoy equivocado.

¿Alguien puede explicarme si puedo saber la dirección del sesgo y cómo?

Answer 1

Creo que el problema es que estás confundiendo términos. La afirmación sobre un estimador siendo BLUE establece dado el supuesto de Gauss-Markov, OLS es el mejor estimador lineal no sesgado. Pero como tu modelo es heterocedástico, los supuestos de Gauss-Markov ya no se cumplen y la prueba de que OLS es BLUE ya no es cierta.

Desafortunadamente no hay un resultado general que muestre si un estimador es el "mejor" en el caso de la heterocedasticidad. En teoría, si conoces la forma funcional exacta de la heterocedasticidad, puedes corregirla perfectamente y tu WLS es igual de efectivo que OLS cuando se cumplen los supuestos de Gauss-Markov. Pero en la realidad, este nunca es el caso, y a menos que tengas una muestra pequeña o un argumento muy sólido de por qué conoces la forma funcional de la heterocedasticidad, es mejor usar los errores estándar robustos de White.

Answer 2

$\hat{\beta}_{OLS}=(x'x)^{-1}(x'y)$. Bajo homoscedasticidad, la varianza (estimada) de este estimador es $var(\beta)=\sigma^{2}(x'x)^{-1}$. Bajo heteroscedasticidad, se convierte en $(x'x)^{-1}(x'\Omega x)(x'x)^{-1}$. El $\Omega$ es la matriz de varianza-covarianza de los términos de error. OLS es un caso anidado de GLS bajo homoscedasticidad. $\hat{\beta}\,_{GLS}=(x'\Omega^{-1}x)^{-1}(x'\Omega^{-1}y)$. Como se puede ver, cuando la matriz de varianza-covarianza es un escalar, los omegas desaparecen. WLS es una forma especial de GLS donde $\Omega=\left(\begin{array}{cccc} e_{1}^{2} & 0 & . & 0\\ 0 & .\\ . & & .\\ 0 & . & 0 & e_{N}^{2} \end{array}\right)$ y las $e's$ representan los residuos. Los errores estándar HCCME (White) utilizan un modelo estimado por OLS pero corrigen los errores estándar utilizando los residuos al cuadrado obtenidos de la estimación de OLS en la forma de sándwich del estimado de la varianza. Uno nunca puede conocer la verdadera forma de la heteroscedasticidad y por lo tanto nunca se puede saber si los errores estándar de los estimados de OLS están sesgados hacia arriba o hacia abajo. El problema de usar los errores estándar robustos es que este es un resultado asintótico y por lo tanto puede estar sesgado en muestras pequeñas. Personalmente, usaría la corrección para muestras pequeñas del HCCME.