Precios de las opciones y reversión media

Question

Estoy confundido sobre el impacto que tiene un proceso de reversión media del precio de la acción sobre el valor de una opción sobre ella.

Varias fuentes afirman que sí hay un impacto en el precio de una opción:

Precios de las opciones y reversión media

Lo y Wang (1995)

Sin embargo, otra fuente parece decir que la reversión a la media no tiene ningún impacto en el precio de una opción:

"El término de deriva del proceso no tiene ningún impacto en el precio de una opción de compra, ya que sabemos que bajo la medida correcta de fijación de precios necesitamos que el precio descontado de las acciones tenga una deriva cero. Esto se consigue cambiando la deriva del proceso original, haciendo irrelevante cualquier término de deriva inicial"

• Mark Joshi, Preguntas y respuestas de la entrevista de trabajo de Quant.

Así que supongo que mi pregunta final es, si el precio de las acciones sigue el siguiente proceso:

$$ dS_t=\alpha(\mu-S_t)dt+\sigma S_tdZ$$

¿Es el precio de una opción sobre la acción justo igual al precio BSM donde $\sigma_{BSM} = \sigma$ ?

Para mí tendría sentido que no hubiera ningún efecto, porque el argumento de la cartera replicante sigue funcionando, y acabamos con la misma EDP y las mismas condiciones de contorno, que darían el mismo precio.

Answer 1

Joshi tiene razón. El argumento de la ausencia de arbitraje implica que la rentabilidad instantánea del precio de las acciones bajo la medida de riesgo neutral es igual al tipo de interés a corto plazo, y el teorema de Girsanov implica que la volatilidad instantánea $\sigma$ es la misma bajo la medida histórica y bajo la medida neutral al riesgo, por lo que bajo la medida neutral al riesgo el precio de la acción es un GBM con deriva $r$ y la volatilidad $\sigma$ y la fórmula de valoración de la opción es BS con volatilidad $\sigma$ incluso cuando el proceso de stock es de reversión media bajo la medida histórica.

Sin embargo, si el proceso de existencias tiene una reversión media según la medida histórica, entonces una estimación histórica de $\sigma$ debe tener en cuenta la reversión de la media y no puede basarse en el simple cálculo de la desviación estándar de $\delta t$ vuelve. Por ejemplo, con una reversión media del 100%, una desviación estándar anual histórica del 20% se traduciría en una volatilidad instantánea de aproximadamente el 30%. Este es, en esencia, el tema del artículo de Lo y Wang, el cálculo de los precios de las opciones con reversión a la media bajo la medida histórica, suponiendo que se conoce la desviación estándar histórica.