Resolver el problema del precio óptimo (maximizar el beneficio) *intentar dentro*

Question

Definamos una función de demanda como $D(p)=B-bp$ , donde $b,B>0$ . Una empresa tiene unos costes de producción, $c$ y puede fijar el precio $p$ bajo la restricción dada por la Demanda.

• ¿Cuál es el precio óptimo?
• ¿La elasticidad del precio es mayor o menor que $1$ (valor absoluto)
• ¿Cómo depende el precio de $b$ ?

¿Cómo se haría ese problema de maximización?

Mi intento

La elasticidad vendría dada por

$\frac{p}{q}\cdot(-b)$ desde $D'(p)=-b$

Entonces el problema es \begin{equation*} max_p(p-c)D'(p) \end{equation*}

de lo que se deduce que

\begin{equation*} D(p)+(p-c)D'(p)=0 \Leftrightarrow \end{equation*}

\begin{equation*} D(p)\left ( 1+(p-c)\frac{\epsilon}{p} \right )=0\Leftrightarrow \end{equation*}

y luego el precio óptimo $p^*$ \begin{equation*} p^*=\frac{\epsilon}{1+\epsilon}c=\frac{\left | \epsilon \right |}{\left | \epsilon \right |-1}c=\frac{\left | \frac{-bp}{q} \right |}{\left | \frac{-bp}{q} \right |-1}c=\frac{c\left | b \right |\left | p \right |}{\left | b\right |\left |p \right |-\left | q \right |} \end{equation*}

y luego observamos que

\begin{equation*} \left | \epsilon \right |>1 \end{equation*}

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Creo que esto no es correcto ni el enfoque adecuado. Se agradece la ayuda.

Answer 1

Empiece por establecer la ecuación de los beneficios:

$$\max_p \pi = (p-c)D(q)$$

Entonces, sustituye la demanda:

$$ \pi = (p-c)(B-bp)$$

Tomar la derivada del beneficio y equipararla a 0:

$$\frac{d \pi}{dp}=B-2pb + cb=0$$

Ahora resuelve el precio óptimo:

$$p^*= \frac{B+cb}{2b}$$

También hay una forma alternativa de llegar a la misma solución que utiliza la elasticidad de la demanda.

Existe una regla de precios óptimos de monopolio bien conocida (véase Peitz y Belleflamme Industrial Organization: Markets and Strategies) que dice que los precios óptimos de monopolio vienen dados por:

$$\frac{p-mc}{p}=-\frac{1}{El}$$

En su caso los costes marginales (mc) son $c$ y su elasticidad de la demanda es realmente:

$$EL= -\frac{bp}{q}= -\frac{bp}{B-bp}$$

En su intento se olvidó de sustituir la Q en su elasticidad.

Si se introducen estos datos en la regla de precios óptimos, se obtiene:

$$\frac{p-c}{p}=-\frac{1}{\left( -\frac{bp}{B-bp} \right) }$$

Que cuando se resuelve para $p$ nos da de nuevo:

$$p^*= \frac{B+cb}{2b}$$

Ambos enfoques dan la misma solución - el primero es más rápido en este caso en mi opinión.

Ahora en cuanto a lo que decimos sobre el precio y el parámetro $b$ podemos simplemente reordenar la fórmula del precio óptimo como

$$p^*= \frac{B}{2b}+\frac{c}{2}$$

Así que claramente podemos ver que cuando $b$ El parámetro aumenta el precio óptimo disminuye.

También podemos demostrarlo más formalmente inspeccionando la derivada de $p^*$ con respecto a $b$ que nos da:

$$ \frac{d p^*}{d b} = -\frac{B}{2b^2}$$

Como la derivada es negativa, confirmamos que el precio varía negativamente con $b$ .

A continuación, según lo solicitado en el comentario sobre qué es la elasticidad al precio de equilibrio, podemos calcularla simplemente sustituyendo el precio de equilibrio por la elasticidad que ya hemos calculado anteriormente:

$$EL(p^*)= -\frac{b p^* }{B-bp^*}= -\frac{b \left( \frac{B+cb}{2b} \right)}{B-b \left( \frac{B+cb}{2b} \right)} \\= - \frac{B+bc}{B-bc}$$

La última expresión será mayor que 1 en valor absoluto porque el numerador será mayor que el denominador ( $B+cb>B-bc$ ) y el valor absoluto hará que el valor sea positivo.