Algunas de tus ecuaciones son incorrectas y tienes que contabilizar correctamente el valor temporal del dinero en algunos lugares. Podría ser útil escribir una línea de tiempo y asegurarse de llevar todos los pagos al mismo punto en el tiempo (tomemos el tiempo 0 como referencia)
Por lo tanto, lo que recibes debe tener el mismo valor actual que lo que pagas (utilizaré las convenciones americanas para las puntuaciones):
$$100,000=\frac{5,000}{0.05}\left[1-\frac1{(1.05)^5}\right]+\frac1{(1.05)^5}\left(\frac{10,000}{0.05}\right)\left[1-\frac{1}{(1.05)^n}\right]$$ y resolver para $n$ .
Así que el primer cálculo era correcto (aunque su fórmula no lo es), ya que haciendo la primera operación se obtiene:
$$78,352.61665=\frac1{(1.05)^5}\left(\frac{10,000}{0.05}\right)\left[1-\frac{1}{(1.05)^n}\right]$$
Sin embargo, espero que pueda ver que no ha tenido en cuenta el hecho de que el $10,000$ los pagos empiezan a llegar en el periodo 6 (por lo que la fórmula de la anualidad llevará los pagos al periodo 5 y hay que descontarlos 5 periodos más), además, también has hecho algo raro con los signos cuando has resuelto para n. En cambio, me sale eso:
$$n=-\frac{\ln\left(1-\frac{(78,352.62)(0.05)(1.05)^6}{10,000}\right)}{\ln(1.05)}=14.2067$$
Eso significa que terminarán de pagar la deuda en el período " $19.2067$ ", es decir, en el periodo 20. Es decir, después de 5 años de pagar $5,000$ 14 períodos de pago $10,000$ y pagando el resto (menos de 10.000) en el periodo 20.
