PDE de Black Scholes

Question

He visto dos variaciones de la EDP de Black-Scholes con $+{\frac {\partial V}{\partial t}}$ o $-{\frac {\partial V}{\partial t}}$ y quería preguntar a qué se debe.

a) https://en.wikipedia.org/wiki/Black%E2%80%93Scholes_equation#Solving_the_PDE $${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0$$

b) https://www.quantstart.com/articles/C-Explicit-Euler-Finite-Difference-Method-for-Black-Scholes $$-{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0$$

Por favor, vea a continuación la derivación de la EDP de Black-Scholes:

\begin{align*} \Pi &= C(S,t)+\Delta S\\ d\Pi &=dC(S,t)+\Delta dS\\ &= C_S dS+C_t dt + \frac{1}{2}C_{SS}d[S]+ \frac{1}{2}C_{tt}d[t]+ C_{St}d[S,t]+\Delta dS\\ &= C_S(S\mu dt+S\sigma dW)+C_tdt+\frac{1}{2}C_{SS}S^2\sigma^2dt+\Delta (S\mu dt+S\sigma dW)\\ &= (\Delta S\sigma+C_SS\sigma)dW+(C_SS\mu+C_t+\frac{1}{2}C_{SS}S^2\sigma^2+\Delta S\mu)dt \end{align*} Cobertura: \begin{align*} d\Pi&\stackrel{!}{=}\Pi rdt\Rightarrow \Delta = -C_S:\\ &\Pi rdt= (C_t+\frac{1}{2}C_{SS}S^2\sigma^2)dt\\ &\Leftrightarrow(C-C_S S) rdt= (C_t+\frac{1}{2}C_{SS}S^2\sigma^2)dt \end{align*} $$\Rightarrow C_t+\frac{1}{2}C_{SS}S^2\sigma^2-r(C-C_S S)= 0$$

Answer 1

Tu derivación es correcta y, como dijo Alex, la única diferencia entre las ecuaciones es cómo se mide el tiempo. Hay dos posibilidades

• El tiempo avanza, $t\in[0,T]$ ,
• El tiempo va hacia atrás, $\tau\in[T,0]$ es decir $\tau=T-t$ .

Y claramente, tras el cambio de variables, $\frac{\partial V}{\partial t}=-\frac{\partial V}{\partial\tau}$ . Entre otras cosas, este cambio de variables se emplea para transformar la EDP de Black-Scholes en la ecuación de calor (difusión).

Tenga en cuenta que el uso de $t\in[0,T]$ significa que la PDE correspondiente debe resolverse con una condición de pago final $V(t=T,S_t)=\varphi(S_T)$ . Por otro lado, utilizando el plazo de vencimiento $\tau$ la EDP se resuelve con una condición inicial $V(\tau=0,S_\tau)=\varphi(S_T)$ .