En este documento "La sonrisa de la volatilidad y su árbol implícito" - Derman y Kani 1994 Entiendo la derivación de todas las ecuaciones hasta la 7. Le he preguntado a un químico del trabajo que ha estado mirando durante 10 minutos y tampoco ha podido resolverla, así que espero que vosotros podáis ayudar. Tenga en cuenta que he logrado derivar la ecuación 6 que era un poco difícil, pero esta no puedo averiguar.
aquí está la ecuación: 
y
Partamos de (EQ 5) (introduzcamos $w$ notación para el factor riqueza y $C_i$ para el precio de la llamada).
$$ wC_i = \lambda_i (F_i -S_i)(S_{i+1}-S_i)^{-1} (S_{i+1}-s_i) +\Sigma $$
He utilizado (EQ 3) $p_i = (F_i -S_i)(S_{i+1}-S_i)^{-1}$ .
Esto equivale a:
$$ wC_i (S_{i+1}-S_i)= \lambda_i (F_i -S_i) (S_{i+1}-s_i) +\Sigma (S_{i+1}-S_i)$$
$$ wC_iS_{i+1} -wC_iS_i=\lambda_iF_iS_{i+1}-\lambda_iF_is_i -\lambda_iS_i S_{i+1} +\lambda_iS_i s_i + \Sigma S_{i+1} - \Sigma S_i$$
$$ wC_iS_{i+1} -\lambda_iF_iS_{i+1} - \Sigma S_{i+1} = -\lambda_iF_is_i -\lambda_iS_i S_{i+1} +\lambda_iS_i s_i - \Sigma S_i +wC_iS_i $$
Esto equivale además a:
$$ S_{i+1}(\lambda_i F_i -wC_i +\Sigma)= \lambda_iF_is_i +\lambda_iS_i S_{i+1} -\lambda_iS_i s_i + \Sigma S_i -wC_iS_i $$
Así que el denominador en (EQ 8) es correcto y no le importa la relación extra:
$$ S_iS_{i+1} = s_i^2.$$
Ahora utilizamos la relación extra para procesar nuestro lado derecho:
$$ \lambda_iF_is_i +\lambda_iS_i S_{i+1} -\lambda_iS_i s_i + \Sigma S_i -wC_iS_i $$ $$ = \lambda_iF_is_i +\lambda_is_i^2 -\lambda_iS_i s_i + \Sigma S_i -wC_iS_i $$ $$ = (\lambda_iws_i^2 + \lambda_is_i^2) - (wC_iS_i + \lambda_iS_i s_i - \Sigma S_i)$$ (He utilizado $F_i =w s_i$ en la última igualdad).
El segundo par de paréntesis ciertamente se asemeja al numerador en (EQ 8), pero no tengo idea de por qué restarlo del primer par de paréntesis produciría el codiciado numerador.
Cualquier ayuda de la comunidad (o enfoque/respuesta diferente) es más que bienvenida.
FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
