Utilidad esperada con valor esperado y varianza

Question

Tengo problemas con una pregunta del libro de Ariel Rubinstein, Lecture Notes in Microeconomic Theory. Es el problema 2 del conjunto de problemas 7. Esta es la pregunta:

Demuestre que la función de utilidad $u(L) = \mathbb E(L) - (\mathbb E(L))^2 - var(L)$ es coherente con los supuestos de vNM.

Dónde $\mathbb E(L)$ y $var(L)$ son el valor esperado y la varianza de las loterías, respectivamente.

Así que esto es lo que pensé: conocemos el siguiente conjunto de implicaciones $$\text{Function is linear} \implies \text{Has the expected utility form} \implies \succsim \text{satisfies vNM assumptions.}$$

Por lo tanto, basta con demostrar que $u(L)$ es lineal. Como sabemos que $var(L) = \mathbb E(L^2) - (\mathbb E(L))^2$ reescribamos nuestra función de utilidad.

$$u(L) = \mathbb E(L) - (\mathbb E(L))^2 - (\mathbb E(L^2) - (\mathbb E(L))^2) = \mathbb E(L) - \mathbb E(L^2).$$

Toma dos loterías, $L$ , $M$ . Deberíamos tener esa

$$U(\alpha L + (1 - \alpha)M) = \alpha U(L) + (1-\alpha ) U(M) \qquad \alpha \in [0,1].$$

Así que, $$U(\alpha L + (1 - \alpha)M) = \mathbb E(\alpha L + (1 - \alpha)M) - \mathbb E((\alpha L + (1 - \alpha)M)^2) = \alpha \mathbb E(L) + (1-\alpha)\mathbb E(M) - \alpha^2 \mathbb E(L^2) - 2\alpha (1 - \alpha)\mathbb E(LM) - (1 - \alpha)^2 \mathbb E(M^2).$$

Pero lo anterior no es igual a $$\alpha U(L) + (1-\alpha ) U(M) = \alpha (\mathbb E(L) - (\mathbb E(L))^2) + (1 - \alpha)(\mathbb E(M) - (\mathbb E(M))^2).$$

¿Podéis ayudarme a ver dónde me he equivocado?

Answer 1

Bastaría con demostrar que $U$ es lineal. Pero es $U$ ¿es necesariamente lineal si satisface los axiomas vNM?

Pista: No.

Answer 2

Si bien es cierto que una función tiene la forma de utilidad esperada si y sólo si es lineal (en probabilidades), no es el caso que cualquier La función lineal puede representar una preferencia que satisfaga los axiomas vNM. El teorema de la utilidad esperada dice simplemente que cuando una preferencia satisface los axiomas vNM, existe una función de utilidad lineal que la represente. El teorema no dice, en particular, que todo La función de utilidad lineal representa una preferencia que satisface los axiomas.

Además, como mencionó @Giskard, la representación de la utilidad de una preferencia consistente con vNM no tiene que tomar la forma de utilidad esperada. Por ejemplo, si $()$ es una función de utilidad lineal esperada que representa una preferencia consistente con vNM, entonces $()=[()]^2$ es otra función de utilidad que representa la misma preferencia, excepto que es una función de utilidad esperada no lineal (o no vNM).