En papeles como https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2686284 (Exploring Mispricing in the Term Structure of CDS Spreads by Robert A. Jarrow, Haitao Li, Xiaoxia Ye, and May Hu) se aplica un modelo de espacio de estados a la estructura de plazos de los CDS. ¿cuáles son las variables que componen las variables de estado? ¿Cómo puedo calibrar el filtro de kalman centrado en el usuario? ¿Tienen algunos ejemplos de matlab?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En pocas palabras, la idea de la estimación es la siguiente:
- Los contratos de CDS cotizados se rigen por un probabilidad de impago neutral al riesgo $PD_Q(\tau\leq T)$ .
- La probabilidad de incumplimiento se modela de nuevo a través de un proceso de intensidad por defecto $\lambda_t$ es decir $P_Q(\tau \leq T)=\mathrm{E_Q}\left(e^{-\int_0^T\lambda(s)ds}\right)$
- El proceso de intensidad por defecto puede modelarse como un proceso CIR (estrictamente positivo), es decir $d\lambda_t=\kappa(\theta-\lambda_t)dt+\sigma\sqrt{\lambda_t}dW_t$
Por lo tanto, podemos observar las comillas (diarias) de los CDS (a varios vencimientos fijos, es decir, 1Y, 3Y, 5Y) pero no puede observar el subyacente $-$ modelo específico $-$ intensidades por defecto. Para estimar el nivel latente $\lambda_t$ para cada punto de tiempo de observación $t\in(0,1,\ldots ,T)$ así como todos los parámetros no observables $\kappa,\theta,\sigma$ tenemos que encontrar la manera de pegamento observaciones $CDS_t$ (potencialmente con un error de observación $\epsilon_t$ ) en el proceso del espacio de estado (latente) y hacer alguna inferencia.
Un mundo lineal: Si el modelo de observación (comilla de los CDS) fuera una función realmente lineal de la intensidad subyacente, podríamos utilizar muy fácilmente la maquinaria estándar del filtro de Kalman:
- Discretizar el proceso del espacio de estados, es decir $\lambda_{i+1}=a+b\lambda_{i}+\sigma_iz_{i+1}$
- Formular el (vector de) observaciones: $CDS_i=A+B\lambda_i+y_{i}$
- Aplicar el Filtro Kalman (Si quiere hacer una inferencia completa (es decir, si quiere encontrar la "verdadera" distribución subyacente, etc.), es posible que tenga que aplicar barridos hacia delante y hacia atrás del filtro de Kalman).
- Optimizar $\kappa,\theta,\sigma,\lambda_0,...$ de manera que se minimice la probabilidad de que se produzcan errores de observación de los CDS.
Como la ecuación de fijación de precios de los CDS no es lineal en el estado de intensidad subyacente, no podemos simplemente invertir las ecuaciones de observación (lineales), sino que debemos recurrir a medios más intensivos desde el punto de vista computacional, por ejemplo, el UKF o incluso fuerza bruta Cadena de Markov Monte Carlo .
De nuevo: Todo esto en un nivel muy alto.
