¿Qué información sobre el proceso estocástico está disponible en las opciones dependientes de la trayectoria?

Question

Supongamos que el stock sigue un proceso definido por la siguiente ecuación diferencial estocástica $$\frac{dS}{S}=r(t)dt+\sigma(S,t)dW,$$ para que el proceso del precio de las acciones tenga una volatilidad local.

Opciones europeas En el caso de las opciones europeas, a partir de los precios de todos los strikes y vencimientos, puedo calcular una distribución de densidad de probabilidad en todo momento condicionada al precio spot actual. La idea es que puedo diferenciar el precio de la opción $C(S,K) = \int_{0}^{\infty} max(S-K,0)\phi(S)ds$ dos veces, para obtener una fórmula de la función de densidad de probabilidad de transición: $$\frac{\partial^2C}{\partial K^2}(K,T)=-\phi(S)$$

Opciones asiáticas : En este escenario, ¿hay información adicional sobre el proceso, que pueda extraer de los precios de las opciones dependientes de la trayectoria?

Answer 1

No hay diferencia de información, aunque el algoritmo de ajuste puede aumentar su complejidad.

En primer lugar, tenga en cuenta que en la práctica nunca tener toda una curva o superficie de precios $C(K,T)$ de cualquier tipo de opción. Sólo tienes un número finito de observaciones e incluso éstas suelen tener una oferta y una demanda.

Por lo tanto, sostengo que la imagen correcta del problema es la siguiente: dada una $n$ -especificación de parámetros $\sigma(S, t; \vec{\mu})$ en función de los parámetros $\mu_1,\dots,\mu_n$ que la superficie que mejor se ajusta a un conjunto de $M$ observaciones del mercado $V_1,\dots,V_M$ ?

El caso que citas sobre las llamadas europeas toma alguna fórmula intermedia no especificada de los precios de las llamadas a un determinado vencimiento $T$ y luego lo diferencia para obtener una instantánea de la varianza integrada a $T$ . Haciendo esto para varios vencimientos $T_1,\dots,T_N$ Especifica los vols locales $\sigma(S, t)$ pero sólo añadiendo algunos supuestos más. Así que, como ves, incluso el caso de la opción europea que citas no está tan claro, ya que no se ha tenido en cuenta ni la especificación de la curva de precios inicial ni la especificación de los intervalos de vencimiento. Si considera esos parámetros de la curva de precios, verá que son elementos de su $\vec{\mu}$ .

Volviendo a nuestra imagen más general, una vez elegida la forma funcional $\sigma(\cdot, \cdot; \vec{\mu})$ (cualquiera que sea), puede utilizarlo junto con un optimizador no lineal (quizás recocido simulado) para ajustar sus vols locales a cualquier conjunto de datos de mercado que desee, incluidos los precios de los productos exóticos.

Answer 2

El precio de una opción americana puede contener información sobre el comportamiento esperado de su titular. ¿Cuándo podría ejercer la opción? Al contrario que las opciones europeas, que no lo hacen.

Por lo tanto, si está interesado principalmente en "reconstruir" la densidad de la transición, yo me quedaría con los índices de opciones europeos.

Sin embargo, si se trata de valorar opciones que dependen de la trayectoria, sería conveniente calibrar el modelo en función de ellas.