Derivar la función de demanda a partir de la función de utilidad con elasticidad constante

Question

Considere un $n$ -industria de bienes con un consumidor representativo con función de utilidad para los bienes diferenciados dada por,

$U=\left(\sum^n_{i=1}q_i^\beta\right)^\theta$

Supongamos que el consumidor representativo está dotado de una renta $I$ .

a. Derivar las demandas inversa y directa;

Mi solución: Estoy escribiendo el lagrange como:

$L=\left(\sum^n_{i=1}q_i^\beta\right)^\theta+\lambda(I-\sum^n_{i=1}p_iq_i)$

FOC:

$\theta \left(\sum^n_{i=1}q_i^\beta\right)^{\theta-1}\beta q_i^{\beta-1}-\lambda p_i=0$

Así que la función de demanda inversa es:

$p_i=\frac{\theta \left(\sum^n_{i=1}q_i^\beta\right)^{\theta-1}\beta q_i^{\beta-1}}{\lambda}$

¿Es esto cierto? Porque el $\lambda$ parece un poco extraño. Si es así, ¿cómo puedo aislar $q_i$ cuando existe este símbolo de suma para derivar la función de demanda?

Answer 1

Te has detenido un poco antes de tiempo.

Permítanme reescribir el FOC para bien $i$ de la siguiente manera:

$$\lambda=\frac{\theta \left(\sum^n_{i=1}q_i^\beta\right)^{\theta-1}\beta q_i^{\beta-1}}{p_i}$$

Como esto es idéntico en todos los bienes, igualar para el bien $i$ y bueno $j$ donde, tras la simplificación, se obtiene:

$$\frac{q_i^{\beta-1}}{p_i} = \frac{q_j^{\beta-1}}{p_j}$$

Esta relación se mantiene para cualquier par de bienes . Esto significa que se puede reescribir la demanda de cualquier bien en términos de $q_i$ y los precios relativos. Entonces, se puede utilizar la restricción presupuestaria para obtener la demanda final del bien $i$ en términos de ingresos $I$ y todos los precios.

Esperemos que esta información sea suficiente para que puedas avanzar y solucionar el problema.