Imagina que tengo una función de producción CES
$$ Y_{\sigma} = Z [ \sum_{i=1}^N \alpha_{i} X_i^{\frac{\sigma}{1-\sigma}}]^{\frac{1-\sigma}{\sigma}}$$
Sé que como $\sigma \to 1$ la función de producción correspondiente se convierte en la función de producción Cobb-Douglas
$$Y_1 = Z \prod_{i=1}^N X_{i}^{\alpha_i}$$
Mi pregunta es, ¿es lo mismo para las funciones de costes correspondientes? Es decir, si tengo la función de costes CES
$$C_{\sigma} = \frac{1}{Z} [\sum_{i=1}^N \alpha_i^{\sigma} P_i^{1-\sigma}]^{\frac{1}{1-\sigma}}$$
¿Es cierto que como $\sigma \to 1$ , $C_{\sigma}$ converge a la siguiente función de costes Cobb-Douglas?
$$C_1 = \frac{1}{Z} \prod_{i=1}^N P_i^{\alpha_i}$$
