¿Cómo derivar esta ecuación matemática desde la perspectiva de la optimización de la cartera de media-varianza?

Question

Pregunta

• He encontrado una inecuación simplificada para decidir si el nuevo activo A debe añadirse a mi cartera actual B. Si se satisface la siguiente inecuación, el nuevo activo A debe añadirse a mi cartera. (Fuente: Informe de investigación de Mackenzie Investment Correlación vs. Beta: ¿Cuál es la diferencia? )

$$\frac{E(R_{a})}{\sigma_{a}} > \frac{E(R_{b})}{\sigma_{b}} \times corr(R_{a}, R_{b})$$

• Un colega me sugirió que la inecuación mostrada anteriormente parece derivarse de la ecuación matemática escrita a continuación, cuando la condición $W_{a}> 0$ se satisface.

• $W_{a}$ qué porcentaje de mi patrimonio total está invertido en el activo A
  $E(R_{a})$ la rentabilidad esperada del activo A
  $\sigma_{a}$ la desviación estándar de los rendimientos del activo A
  $r_{f}$ Rendimiento sin riesgo, como los bonos del Estado de EE.UU.
  Supongo que $R_{A}$ es lo mismo que $R_{a}$ lo que significa que el rendimiento del activo A .

• ¿Hay alguien que pueda mostrarme cómo se puede simplificar la ecuación escrita en la parte inferior a la inecuación escrita en la parte superior, cuando la condición $W_{a}> 0$ ¿está satisfecho?

Answer 1

Supongamos que el denominador es positivo (es decir $>0$ ) y que $r_f=0$ . Para facilitar la notación, reescribiremos $W_A$ como:

\begin{align*} W_A = \frac{\mathbb{E}\left[R_A\right] \sigma_B^2 - \mathbb{E}\left[R_B\right]\sigma_A\sigma_B \mathbb{C}orr(R_A, R_B)}{\mathbb{E}\left[R_A\right] \left(\sigma^2_B - \sigma_A\sigma_B \mathbb{C}orr(R_A, R_B)\right)+\mathbb{E}\left[R_B\right]\left(\sigma^2_A - \sigma_A\sigma_B \mathbb{C}orr(R_A, R_B)\right)} = \frac{\mathbb{E}\left[R_A\right] \sigma_B^2 - \mathbb{E}\left[R_B\right]\sigma_A\sigma_B \mathbb{C}orr(R_A, R_B)}{Z_A + Z_B}>0,\\ \end{align*} Ahora, sumando la parte negativa de la fracción en ambos lados, observamos que:

\begin{align*} \frac{\mathbb{E}\left[R_A\right] \sigma_B^2}{Z_A + Z_B}&> \frac{\mathbb{E}\left[R_B\right]\sigma_A\sigma_B \mathbb{C}orr(R_A, R_B)}{Z_A + Z_B}\\ &\Updownarrow\\ \mathbb{E}\left[R_A\right] \sigma_B^2&> \mathbb{E}\left[R_B\right]\sigma_A\sigma_B \mathbb{C}orr(R_A, R_B)\\ &\Updownarrow\\ \frac{\mathbb{E}\left[R_A\right] \sigma_B^2}{\sigma_A}&> \mathbb{E}\left[R_B\right]\sigma_B \mathbb{C}orr(R_A, R_B)\\ &\Updownarrow\\ \frac{\mathbb{E}\left[R_A\right]}{\sigma_A}&> \frac{\mathbb{E}\left[R_B\right] \mathbb{C}orr(R_A, R_B)}{\sigma_B},\\ \end{align*} donde en la segunda desigualdad utilizamos el hecho de que el denominador es positivo, y en la tercera y cuarta desigualdad hemos dividido con $\sigma_A$ y $\sigma_B^2$ de forma específica.

Answer 2

En este caso, respondo específicamente a su pregunta en los comentarios:

No, no hay garantía de que el denominador sea positivo. Para simplificar, supongamos que $r_f$ =0 y que $E(R_A)=E(R_B)\frac{\sigma_A}{\sigma_B}\rho+\frac{c}{\sigma_b^2}$ con $c>0$ . Este nivel de $E(R_A)$ satisface la condición de su pregunta. Entonces,

$$ W_A=\frac{c}{c\left(1-\frac{\sigma_A}{\sigma_B}\rho\right)+E(R_B)\sigma_A^2\left(1-\rho^2\right)} $$

y podemos tener claramente una situación en la que la cantidad óptima de inversión $W_A$ se convierte en negativo, es decir, cuando

$$ c\left(1-\frac{\sigma_A}{\sigma_B}\rho\right)+E(R_B)\sigma_A^2\left(1-\rho^2\right)<0 $$

Pero si empiezas a jugar con los números, verás que puede requerir algunas combinaciones extremas de $E(R_B), \sigma_A, \sigma_B, \rho, c$ para que la regla rápida no funcione.