¿Cómo "entiende" un modelo de precios el coste de la cobertura?

Question

Supongamos que estoy fijando el precio de un multiactivo al vencimiento. Teóricamente, defino sus distribuciones conjuntas en la medida neutral de riesgo, y pongo el precio utilizando la expectativa. Sin embargo, ¿cómo sé que el modelo ha tenido en cuenta el coste de la cobertura vega? El coste de la cobertura delta se incluye en las distribuciones marginales, pero ¿cómo se tiene en cuenta el coste de la cobertura vega? ¿Cómo "conoce" el modelo este coste? Supongo que de alguna manera está "implícito" en la parte de la "distribución conjunta", pero eso plantea la pregunta, ¿no necesito un modelo de estructura de plazos (es decir, evolucionar la superficie de vol a lo largo del tiempo) para poder tener en cuenta ese coste con precisión?

Answer 1

No estoy seguro de entender la pregunta, pero lo intentaré de todos modos.

La media y la varianza especificadas para la distribución terminal $S_T$ dependen del precio actual de los activos, $S_0$ y la volatilidad implícita, $\sigma_i$ (que tiene que venir del mercado a través de, con suerte, el mismo tasador que uno utiliza).

La expectativa de un pago, función $f(S_T)$ es, por tanto, una función de $S_0$ y $\sigma_i$ , $V(0, S_0, \sigma_i)$ . Todo lo que se puede hacer en este momento es calcular el delta y la vega. Hasta ahora no hay cobertura. Sólo la fijación de precios.

La cobertura entra en juego cuando uno está interesado en la terminal ${\rm PnL}_T$ del producto derivado (con cobertura delta).

Para ello, hay que imaginar un proceso detrás de $S_T$ (me vienen a la mente los teoremas de representación de la martingala) dicen de la forma $$ dS_t/S_t = ...dt +\sigma_t dW_t, S_0$$
con $\sigma_t$ el "verdadero" vol a lo largo de la ruta de los activos.

Suponiendo que la cobertura delta se haga en $\sigma_i$ a lo largo de la vida del producto (véase este enlace para las suposiciones y los detalles para el vol de cobertura diferente del vol implícito, etc.), el PnL terminal es:

$${\rm PnL}_T = \int_0^T {\rm e}^{-rT}(\sigma_i^2 - \sigma_t^2) \frac{1}{2}S_t^2 \frac{\partial^2 }{\partial S^2} V(t,S_t, \sigma_i) dt $$

que incorpora la supuesta varianza del activo terminal, $\sigma_i^2$ sino también la volatilidad realizada y la Gamma a lo largo de la trayectoria del activo. (Gamma está relacionada con Vega; bajo los supuestos de Black-Scholes, para los pagos de las opciones europeas, la relación es explícita: ${\rm Vega} = \sigma_i \tau S^2 {\rm Gamma} $ .)

Editar: Es Teorema de Feynman-Kac (o más bien su recíproco) que dice que

$$ u(x,t) = E^Q \left[{\rm e}^{r(T-t)}\psi(X_T) | X_t=x \right] $$

es la solución de la EDP parabólica estándar con condición terminal $$u(x,T)=\psi(x) $$

que revela los términos delta y gamma utilizados en la cobertura (PDE sí "entiende de cobertura").

Answer 2

Un modelo "entiende" el precio de los riesgos que se supone que existen. Por ejemplo, el modelo Black-Scholes comprende el coste de la cobertura delta, pero no el de la cobertura vega. De ahí que tengamos modelos de volatilidad estocástica: éstos comprenden el coste de la cobertura delta y de la volatilidad. Sin embargo, ninguno de estos modelos tiene en cuenta los costes de transacción. Por lo tanto, también se podría argumentar que ninguno de estos modelos comprende realmente el coste de la cobertura en la práctica. El hecho de que los costes de transacción no suelan formar parte de un modelo de fijación de precios hace que la necesidad de una réplica (semi) estática de las demandas sea aún mayor. En la medida de lo posible, siempre hay que intentar tener una estrategia de replicación (semi)estática. Por supuesto, siempre se pueden modelar los costes de transacción si la cobertura semiestática no es posible, pero eso conlleva costes computacionales adicionales.