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¿Cómo "entiende" un modelo de precios el coste de la cobertura?

Supongamos que estoy fijando el precio de un multiactivo al vencimiento. Teóricamente, defino sus distribuciones conjuntas en la medida neutral de riesgo, y pongo el precio utilizando la expectativa. Sin embargo, ¿cómo sé que el modelo ha tenido en cuenta el coste de la cobertura vega? El coste de la cobertura delta se incluye en las distribuciones marginales, pero ¿cómo se tiene en cuenta el coste de la cobertura vega? ¿Cómo "conoce" el modelo este coste? Supongo que de alguna manera está "implícito" en la parte de la "distribución conjunta", pero eso plantea la pregunta, ¿no necesito un modelo de estructura de plazos (es decir, evolucionar la superficie de vol a lo largo del tiempo) para poder tener en cuenta ese coste con precisión?

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ir7 Puntos 435

No estoy seguro de entender la pregunta, pero lo intentaré de todos modos.

La media y la varianza especificadas para la distribución terminal $S_T$ dependen del precio actual de los activos, $S_0$ y la volatilidad implícita, $\sigma_i$ (que tiene que venir del mercado a través de, con suerte, el mismo tasador que uno utiliza).

La expectativa de un pago, función $f(S_T)$ es, por tanto, una función de $S_0$ y $\sigma_i$ , $V(0, S_0, \sigma_i)$ . Todo lo que se puede hacer en este momento es calcular el delta y la vega. Hasta ahora no hay cobertura. Sólo la fijación de precios.

La cobertura entra en juego cuando uno está interesado en la terminal ${\rm PnL}_T$ del producto derivado (con cobertura delta).

Para ello, hay que imaginar un proceso detrás de $S_T$ (me vienen a la mente los teoremas de representación de la martingala) dicen de la forma $$ dS_t/S_t = ...dt +\sigma_t dW_t, S_0$$
con $\sigma_t$ el "verdadero" vol a lo largo de la ruta de los activos.

Suponiendo que la cobertura delta se haga en $\sigma_i$ a lo largo de la vida del producto (véase este enlace para las suposiciones y los detalles para el vol de cobertura diferente del vol implícito, etc.), el PnL terminal es:

$${\rm PnL}_T = \int_0^T {\rm e}^{-rT}(\sigma_i^2 - \sigma_t^2) \frac{1}{2}S_t^2 \frac{\partial^2 }{\partial S^2} V(t,S_t, \sigma_i) dt $$

que incorpora la supuesta varianza del activo terminal, $\sigma_i^2$ sino también la volatilidad realizada y la Gamma a lo largo de la trayectoria del activo. (Gamma está relacionada con Vega; bajo los supuestos de Black-Scholes, para los pagos de las opciones europeas, la relación es explícita: ${\rm Vega} = \sigma_i \tau S^2 {\rm Gamma} $ .)

Editar: Es Teorema de Feynman-Kac (o más bien su recíproco) que dice que

$$ u(x,t) = E^Q \left[{\rm e}^{r(T-t)}\psi(X_T) | X_t=x \right] $$

es la solución de la EDP parabólica estándar con condición terminal $$u(x,T)=\psi(x) $$

que revela los términos delta y gamma utilizados en la cobertura (PDE sí "entiende de cobertura").

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Aunque entiendo lo que has dicho, no me creo tu afirmación de que se puede fijar el precio sin hablar de cobertura, ya que el precio modelado como expectativa en medida única neutral al riesgo depende del supuesto de un mercado completo, es decir, de la replicación. Es esta sutileza la que trato de entender. ¿Puedo, a partir de la distribución neutral al riesgo, comentar los costes de cobertura o la estrategia de autofinanciación que subyace?

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@Arshdeep Singh Duggal Lo siento, no estaba haciendo ninguna reclamación. Sólo estaba redirigiendo la discusión hacia un objeto que me parecía más relevante, el terminal PnL. En cuanto a tu pregunta, tal vez sea el teorema de Feynman-Kac lo que buscas, ya que establece el vínculo entre la expectativa (condicional) del resultado final y la EDP que "entiende la cobertura".

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Oh sí, ahora lo veo. Muchas gracias por esa afirmación sobre Feynman Kac.

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steven Teal Puntos 81

Un modelo "entiende" el precio de los riesgos que se supone que existen. Por ejemplo, el modelo Black-Scholes comprende el coste de la cobertura delta, pero no el de la cobertura vega. De ahí que tengamos modelos de volatilidad estocástica: éstos comprenden el coste de la cobertura delta y de la volatilidad. Sin embargo, ninguno de estos modelos tiene en cuenta los costes de transacción. Por lo tanto, también se podría argumentar que ninguno de estos modelos comprende realmente el coste de la cobertura en la práctica. El hecho de que los costes de transacción no suelan formar parte de un modelo de fijación de precios hace que la necesidad de una réplica (semi) estática de las demandas sea aún mayor. En la medida de lo posible, siempre hay que intentar tener una estrategia de replicación (semi)estática. Por supuesto, siempre se pueden modelar los costes de transacción si la cobertura semiestática no es posible, pero eso conlleva costes computacionales adicionales.

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Su punto tiene sentido pero mi pregunta es: ¿Cómo? Digamos que te digo que el mercado es completo, y te doy la distribución de una acción en la medida terminal. Seguro que puedes ponerle precio, pero no he tenido que hablar del coste de replicación en absoluto.

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Tomemos el modelo BS y olvidemos por el momento los costes de transacción. En la derivación de la fórmula del precio BS se tiene en cuenta que se construye una cartera replicante autofinanciada mediante el reequilibrio dinámico de las acciones (cobertura delta). La fórmula del precio de la BS es la solución de la EDP resultante que lleva incorporada esta cobertura delta. Es decir, la solución de la EDP entiende que la cobertura está involucrada. Y como la distribución puede expresarse en términos de precios de compra (Breeden-Litzenberger), la distribución entiende el coste de la replicación. Espero que ahora esté más claro.

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Sí estoy de acuerdo en que la distribución de alguna manera entiende, como el precio es sólo el costo de la replicación. Lo que estoy tratando de entender es, dada una distribución en la medida neutral de riesgo, ¿qué puedo decir sobre la cartera de replicación que subyace en ella? Por lo que sé, sólo puedo decir que he asumido que existe una.

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