Permítanme usar la letra mayúscula $W$ en lugar de la letra minúscula $w$ (como $W$ es en realidad una matriz).
Por lo tanto, dejemos que $W$ sea la matriz que contiene en la fila $i$ y la columna $j$ la probabilidad de que $j$ oye de $i$ . A continuación, el número medio de piezas de información que $j$ obtiene de $i$ en un periodo viene dado por $W(i,j)$ .
El número medio de información que $j$ obtiene de $i$ que tarda 2 periodos en viajar es la información que va primero de $i$ a alguna persona intermedia $k$ y luego de $k$ a $j$ a través de la ruta $i \to k \to j$ . La cantidad de información que se transmite por esta vía es $W(i,k) \cdot W(k,j)$ . Para ver esto, observe que $W(i,k)$ es la cantidad de información enviada a $k$ y de esto una fracción $W(k,j)$ se envía a $j$ . Ahora, esto tiene que ser sumado sobre todos los nodos intermedios $k$ (es decir, todos los caminos de longitud 2). por lo que obtenemos: $$ \sum_{k} W(i,k) \cdot W(k,j) = (W \times W)_{i,j} = (W^2)_{i,j} $$ Aquí $\times$ es la multiplicación de matrices.
Veamos ahora la información que toma 3 periodos. Esta es la información que va de $i$ a algún intermedio $k$ entonces de $k$ a algún intermedio $\ell$ y finalmente a $j$ , por lo que el camino $i \to k \to \ell \to j$ . La cantidad de información en este camino es $W(i,k) \cdot W(k,\ell) \cdot W(\ell, j)$ . Si sumamos todos estos caminos de longitud 3, obtenemos: $$ \sum_k \sum_\ell W(i,k) \cdot W(k,\ell) \cdot W(\ell, j) = (W \times W \times W)_{i,j} = (W^3)_{i,j}. $$ Si continuamos, podemos generalizar esto a cualquier camino de longitud $T$ . La información enviada desde $i$ a $j$ a través de todos esos caminos viene dada por: $$ (W \times W \times \ldots W)_{i,j} = (W^T)_{i,j}. $$
Ahora bien, si la información va de $i$ a $j$ ya sea que tome 1 período, 2 períodos, 3 períodos, ... $T$ periodos para viajar. Por lo tanto, para calcular el total de piezas de información esperadas que $j$ recibe de $i$ en $T$ períodos viene dada por la suma de todos estos períodos: $$ H(W, T) = \sum_{t = 1}^T (W^t)_{i,j}. $$ Ahora la cantidad total de información enviada desde $i$ y escuchado por alguien puede obtenerse tomando la suma sobre todos los receptores $j$ . $$ DC(W,T) = \sum_{j} (H(W,T))_{i,j} = (H(W,T)\times 1)_{i,j} $$ Esto equivale a sumar las filas de la matriz $H(W,T)$ .
Un ejemplo
Tomemos el ejemplo de tres individuos $1,2$ y $3$ . Supongamos que $W$ está dada por: $$ W = \begin{bmatrix} 0 & 0.3 & 0.2\\ 0.2 & 0 & 0.6\\ 0 & 0.4 & 0\end{bmatrix} $$ Esto implica que (por ejemplo) la probabilidad de que 2 escuche a 1 en un periodo es igual a 0,3.
Entonces $$ W^2 = \begin{bmatrix} 0.06 & 0.08 & 0.18\\ 0 & 0.3 & 0.04\\ 0.08 & 0 & 0.24\end{bmatrix} $$ Aquí, por ejemplo, la cantidad recibida por 2 de 1 en dos períodos es $0.08 = 0.2 \times 0.4$
A continuación, multiplicando $W^2$ una vez más por $W$ da: $$ W^3 = \begin{bmatrix} 0.016 & 0.09 & 0.06\\ 0.06 & 0.016 & 0.18\\ 0 & 0.12 & 0.016\end{bmatrix} $$ Entonces: $$ H(W, 3) = W + W^2 + W^3 = \begin{bmatrix} 0.076 & 0.47 & 0.44\\ 0.26 & 0.316 & 0.82\\ 0.08 & 0.52 & 0.256\end{bmatrix} $$ Así que en tres períodos $2$ recibe de media $0.47$ información de $1$
La información total enviada desde $1$ a alguien se calcula tomando la suma de los elementos de la fila $1$ , lo que da: $$ 0.076 + 0.47 + 0.44 = 0.986 $$ En general: $$ DC(W, 3) = \begin{bmatrix} 0.986\\1.396\\0.856\end{bmatrix} $$
