¿Cómo se obtiene la expresión del tipo de interés a plazo?

Question

Se da la siguiente dinámica RN de un ZCB que madura en el tiempo:

$$\frac{dZ(t,T)}{Z(t,T)} = r_tdt + \sigma_Z(t,T)dX_t$$

y el tipo de interés a plazo está dado:

$$f(t,T,T+\delta) = \frac{ln(Z(t,T)) - ln(Z(t,T,T+\delta))}{\delta}$$

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¿Cómo utilizar el lema de Ito para obtener la SDE para el tipo de cambio a plazo de la siguiente manera?:

$$df(t,T) = \frac{(\sigma_Z(t,T))^2 - (\sigma_Z(t,T))^2}{2\delta}dt + \frac{\sigma_Z(t,T) - \sigma_Z(t,T)}{\delta}dX_t$$

Answer 1

Una definición

Observamos que $f(t;T)$ se define como $$ f(t;T) = \lim_{\delta \to 0} f(t;T,t+\delta) \equiv -\frac{1}{Z(t;T)} \frac{\partial}{\partial T}Z(t;T). $$

Conocemos la solución para $Z$

Sabemos que la solución para el ZCB viene dada por la exponencial estocástica/doleana $$ Z(t;T) = Z(t_0;T)\exp\left(\int_{t_0}^t \left(r(s) - \frac{\sigma^2(s;T)}{2}\right)\mathrm{d}s + \int_{t_0}^t \sigma(s;T) \mathrm{d}X(s) \right) $$ para $t \geq t_0$ donde, por razones de brevedad, hemos omitido el $Z$ en $\sigma_Z$ .

Combinar los resultados

Poner la solución para $Z$ en la ecuación de $f$ da \begin{align} f(t;T) & = -\frac{\partial}{\partial T}\left(\int_{t_0}^t \left(r(s) - \frac{\sigma^2(s;T)}{2}\right)\mathrm{d}s + \int_{t_0}^t \sigma(s;T) \mathrm{d}X(s) \right) \\ & = -\int_{t_0}^t \frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\sigma^2(s;T)}{2}\right)\mathrm{d}s - \int_{t_0}^t \frac{\partial}{\partial T}\sigma(s;T) \mathrm{d}X(s) \end{align} de la cual podemos leer el cambio infinitesimal $$ \mathrm{d}f(t;T) = -\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\sigma^2(t;T)}{2}\right)\mathrm{d}t - \frac{\partial}{\partial T}\sigma(t;T) \mathrm{d}X(t). $$

Así que si lo anterior es lo que quiso decir con la expresión $f(t;T)$ entonces este es el resultado deseado.

Volviendo a una perturbación de tiempo finito de tamaño $\delta$

Si desea reinsertar alguna pequeña $\delta$ como una perturbación de $T$ entonces utilizamos la inversa de nuestra definición de la derivada parcial donde $$ -\frac{\partial}{\partial T} g(t;T) \equiv \lim_{\delta \to 0} \frac{g(t;T) - g(t;T+\delta)}{\delta}. $$ Haciendo esto para nuestra expresión para $f$ da $$ \mathrm{d}f(t;T,T+\delta) = \left(\frac{\sigma^2(t;T) - \sigma^2(t;T+\delta)}{2\delta}\right)\mathrm{d}t + \left(\frac{\sigma(t;T) - \sigma(t;T+\delta)}{\delta}\right) \mathrm{d}X(t), $$ que parece ser lo que buscabas.