Supongo que estás confundido entre las escrituras integral y SDE del lema de Ito, ya que las dos ecuaciones que tienes son efectivamente diferentes.
Dejemos que $X_t$ sea un proceso Ito definido por $$ X_t = X_0 + \int_0^t \alpha_s \, ds + \int_0^t \sigma_s \, dW_s $$ para procesos adaptados $\alpha_s$ y $\sigma_s$ (y asumiendo alguna condición técnica de acotación de las integrales). Esta ecuación puede escribirse en resumen como SDE como $$ dX_t = \alpha_t dt + \sigma_t dW_t. $$ La SDE no es rigurosa - es simplemente una forma abreviada de escribir las integrales anteriores, y proporciona un poco de intuición detrás de la evolución de $X$ en intervalos de tiempo "infinitesimales".
Consideremos ahora una función medible $f: [0,T] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $$ f(\cdot,x)\in C^1([0,T]) \quad \forall x \in \mathbb{R}, $$ y $$ f(t,\cdot) \in C^2(\mathbb{R}) \quad \forall t \in [0,T]. $$
Yo diría que la forma correcta (matemáticamente rigurosa) de enunciar el lema de Ito es
$$ f(T,X_T) = f(0,X_0) + \int_0^T \frac{\partial}{\partial t}f(s,X_s) \, ds + \int_0^T \frac{\partial}{\partial x}f(s,X_s) \, dX_s \\ \qquad + \frac{1}{2}\int_0^T \frac{\partial^2}{\partial x^2}f(s,X_s) \, d<X,X>_s $$
La cantidad $<X,X>_s$ es la variación cuadrática acumulada por el proceso Ito $X$ hasta el momento $s$ . Se puede demostrar (Shreve II, página 143-144, por ejemplo) que esto viene dado por $$ <X,X>_s = \int_0^s \sigma^2_u \, du, $$ o, en forma diferencial (abreviada) como $$ d<X,X>_s = \sigma^2_s \, ds. $$ Introduciendo esto en el lema de Ito se obtiene la primera ecuación.
Ahora, al igual que el proceso de Ito $X$ fue escrito en forma abreviada como un SDE, por lo que puede $f$ ya que también es un proceso Ito. Es decir, también tenemos
$$ df(t,X_t) = \frac{\partial}{\partial t}f(t,X_t)dt + \frac{\partial}{\partial x}f(t,X_t) dX_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(t,X_t) d<X,X>_t. $$
La primera ecuación en caja tenía un significado matemático preciso. La segunda ecuación en el recuadro es sólo una abreviatura de la primera.
Actualización: Su segunda ecuación suele llamarse regla del producto de Ito. El lema de Ito se establece "normalmente" para funciones de un proceso de Ito como lo fue para mi respuesta anterior. Si tienes una función de dos procesos de Ito, entonces la variación cuadrática de ambos procesos y la variación cruzada aparecen en el lema de Ito, también conocido como la regla del producto de Ito. Ver Shreve II, página 168, por ejemplo, para una explicación decente
