Cálculo y curvas de indiferencia en un ejemplo de economía urbana

Question

Estoy leyendo el periódico ' La estructura de los equilibrios urbanos de Jan Brueckner.

Utiliza un modelo de ciudad monocéntrica, donde todos los consumidores obtienen ingresos $y$ en el centro de la ciudad. Compran $q$ vivienda por un precio $p$ a distancia $x$ del centro, incurriendo en gastos de transporte $tx$ .

Los consumidores tienen una función de utilidad:

$v(c,q)=v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))=u$

donde $\phi=x,y,t,u$

La restricción presupuestaria es:

$c = y - tx - pq$

La condición de tangencia implica:

$\frac{v_1(y - tx - pq, q)}{v_2(y - tx - pq, q)} = p$

donde el subíndice 1 denota la diferenciación parcial con respecto al primer argumento, etc.

A continuación, el documento analiza cómo $p$ y $q$ varían con $x, y, t$ y $u$ .

Si $\phi=x,y,t$ nos mantenemos en la misma curva de indiferencia. Me parece relativamente sencillo encontrar $\frac{\partial{p}}{\partial{x}},\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$ y $\frac{\partial{p}}{\partial{t}}$ .

Si $\eta$ es la pendiente de la curva de demanda compensada por la renta, entonces $\frac{\partial{q}}{\partial{\phi}} = \eta\frac{\partial{p}}{\partial{\phi}}$ .

Ahora para permitir $u$ para variar. La restricción presupuestaria se desplaza hacia fuera para encontrarse con una nueva curva de indiferencia, determinando el nuevo $p$ y $q$ .

Puedo encontrar $\frac{\partial{p}}{\partial{u}}$ . Diferenciar totalmente la función de utilidad con respecto a u:

$\frac{d}{du}[v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))= u] = v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})+v_2(\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=1$

Ya que, por la condición de tangencia $v_2=pv_1$ :

$v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}}+p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q)=1$

Así que $\frac{\partial{p}}{\partial{u}} = \frac{-1}{qv_1}$ .

El documento cita a continuación:

$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$

No sé cómo derivar esto. Supongo que el primer término entre corchetes es un efecto de sustitución y el segundo es un efecto de renta.

Por favor, ayúdenme a entender esta última expresión $\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$ y cómo derivarlo.

Answer 1

La función de utilidad considerada es $v(c,q)$ y luego

$$MRS(c,q) = \frac{\partial v/\partial q}{\partial v/\partial c} = v_2/v_1$$

hacen la denpendencia funcional de on $u$ explícito entonces tienes

$$\frac{\partial}{\partial u}MRS(c(u),q(u)) = \frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial c} \frac{\partial c(u)}{\partial u} + \frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial q} \frac{\partial q(u)}{\partial u} = \frac{\partial p(u)}{\partial u},$$

donde la última identidad se deduce porque se sabe que $p = MRS$ . Ahora basta con reordenar la identidad

$$\frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial c} \frac{\partial c(u)}{\partial u} + \frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial q} \frac{\partial q(u)}{\partial u} = \frac{\partial p(u)}{\partial u},$$

para conseguir

$$ \frac{\partial q(u)}{\partial u} = \frac{\left[\frac{\partial p(u)}{\partial u} - \frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial c} \frac{\partial c(u)}{\partial u}\right]}{\frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial q} },$$

entonces utiliza que Brueckner ha definido $\eta := \left[\frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial q}\right]^{-1}$ en la nota(3) para obtener

$$ \frac{\partial q(u)}{\partial u} = \left[\frac{\partial p(u)}{\partial u} - \frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial c} \frac{\partial c(u)}{\partial u}\right] \eta ,$$

y finalmente aplicar la regla de que $\frac{\partial c(u)}{\partial u} = \frac{1}{\partial v/\partial c} = 1/v_1$ para conseguir

$$ \frac{\partial q(u)}{\partial u} = \left[\frac{\partial p(u)}{\partial u} - \frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial c} \frac{1}{v_1}\right] \eta.$$