Comprender el sistema de gastos lineales

Question

He estado leyendo sobre los usos del sistema de gastos lineales a través de los documentos que los aplican.

Un documento que da una buena introducción al tema en un documento llamado: Modelización del comportamiento de los hogares en un modelo CGE: ¿sistema de gasto lineal o addilog indirecto? por Paul de Boer . (páginas 5-6) Repasa bastante bien la teoría básica del sistema de gasto lineal.

Sin embargo, en cuanto a la elaboración de las matemáticas yo mismo estoy teniendo algunas dificultades, a continuación es una versión abreviada de lo que se encuentra en el documento.

Para derivar el sistema de gasto lineal tenemos: $$\max \ \ \ \ \ \ U(x_1,...,x_n)=\sum_{i=1}^n\gamma_i ln(x_i-a_i)$$ $$s.t.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m=\sum_{i=1}^n p_ix_i$$

Después de calcular esto deberíamos obtener nuestro sistema de gasto lineal que se define como

$$p_ix_i=p_ia_i+ \gamma_i(m-\sum_{j}p_{j}a_j)$$

donde $(m-\sum_{j}p_{j}a_j)$ es gastos supernumerarios o discrecionales .

Esto no es lo que tengo.

al resolver esto termino con esto (como se derivó anteriormente en Sistema de gasto lineal de las demandas, ayuda a la derivación ):

$$\sum_{i=1}^nx_i=(a_1,...,a_n)+\left(\frac{\gamma_1}{\lambda p_1},...,\frac{\gamma_1}{\lambda p_1}\right)$$

¿Cómo puedo obtener el resultado así en este papel?

Answer 1

Por cada $x_i$ por separado se obtiene

$$\frac {\gamma_i}{x_i-a_i} = \lambda p_i \tag{1}$$

Reacomodando,

$$\frac {\gamma_i}{\lambda} = p_ix_i - p_ia_i \tag{2}$$

Suma sobre $i$

$$\frac 1{\lambda}\sum\gamma_i = \sum p_ix_i - \sum p_ia_i \tag{3}$$

Reordenar para resolver el óptimo $\lambda$ teniendo en cuenta las restricciones

$$\sum p_ix_i = m ,\;\;\; \sum\gamma_i=1$$

$$\lambda^* = \frac {1}{m-\sum p_ia_i}\tag {4}$$

Insertar en $(2)$ , reordenar y ya está.