Sistema de gasto lineal de las demandas, ayuda a la derivación

Question

Este problema en el que estoy trabajando sale de -sorpresa- el libro de Mas-Colell para micrograduados (3.D.6). Creo que he utilizado correctamente el FOC del Lagrangiano del problema de maximización de la utilidad para derivar la demanda walrasiana del consumidor. Mi respuesta no coincide con el libro. Se nos da que

$u(x) = (x_1-b_1)^\alpha (x_2-b_2)^\beta(x_3-b_3)^\gamma$

(y entonces de la primera parte podemos decir que $\alpha + \beta + \gamma = 1 $ WLOG).

Las soluciones dicen que tomamos una transformación monótona:

$\ln(u(x)) = \alpha \ln(x_1-b_1) + \beta \ln(x_2-b_2) + \gamma \ln(x_3-b_3)$

y luego establecí el Lagrangiano de esto:

$ \mathcal{L} = \alpha \ln(x_1-b_1) + \beta \ln(x_2-b_2) + \gamma \ln(x_3-b_3) - \lambda(p_1x_1 + p_2x_2 + p_3x_3 - w)$

y los FOC son:

$\frac{\alpha}{x_1-b_1} - \lambda p_1 = 0$

$\frac{\beta}{x_2-b_2} - \lambda p_2 = 0$

$\frac{\gamma}{x_3-b_3} - \lambda p_3 = 0$

Resuelve las x:

$x_1 = \frac{\alpha}{\lambda p_1} + b_1$

$x_2 = \frac{\beta}{\lambda p_2} + b_2$

$x_3 = \frac{\gamma}{\lambda p_3} + b_3$

Lo que nos lleva a:

$$x(p,w) = (b_1, b_2, b_3) + \left(\frac{\alpha}{\lambda p_1},\frac{\beta}{\lambda p_2},\frac{\gamma}{\lambda p_3}\right)$$

Esto no es lo que obtuvo el libro, así que utilicé la ley de Walras para obtener el resultado deseado:

$p \cdot x = w$

$\implies w - (b \cdot p) = \frac{1}{\lambda}(\alpha + \beta + \gamma)= \frac{1}{\lambda}$

$$\implies x(p,w) = (b_1, b_2, b_3) + (w - (b \cdot p))\left(\frac{\alpha}{p_1},\frac{\beta}{p_2},\frac{\gamma}{p_3}\right)$$

que es la solución del libro.

Así que mis preguntas son:

¿He hecho bien la derivación? ¿Cómo puedo saber que debo tomar una transformación logarítmica de la función de utilidad original? ¿Hay alguna información en particular que deba indicarme?

Answer 1

No estoy seguro de entender su pregunta. $\lambda$ es un multiplicador de Lagrange que tiene un valor en el óptimo. No es un parámetro y por lo tanto no se puede dejar en la solución.
Al resolver el lagrangiano la solución óptima tiene la forma $(x,\lambda)$ y además de sus condiciones $$x_1 = \frac{\alpha}{\lambda p_1} + b_1$$ $$x_2 = \frac{\beta}{\lambda p_2} + b_2$$ $$x_3 = \frac{\gamma}{\lambda p_3} + b_3$$ también tiene que cumplir $$ (p \cdot x - w) \lambda = 0. $$ Si $\lambda \neq 0$ esto también significa $p \cdot x = w$ . $\lambda$ no puede ser igual a cero porque está en el denominador de su solución óptima para $x$ : $$x(p,w) = (b_1, b_2, b_3) + \left(\frac{\alpha}{\lambda p_1},\frac{\beta}{\lambda p_2},\frac{\gamma}{\lambda p_3}\right)$$ y, por lo tanto, tenías razón al utilizar la ley de Walras o la restricción presupuestaria.

Para más información sobre las condiciones de optimalidad, véase el Teorema de Karush-Kuhn-Tucker .

Acerca de $b_1, b_2$ y $b_3$ : Creo que esto se supone que es un punto de felicidad.