Valor en riesgo en función creciente

Question

Hay un ejercicio que me cuesta resolver. Espero que me puedan dar una pista.

Sea X una variable aleatoria que toma valores en $I\subset \mathbb{R}$ . Tengo que demostrar que el Valor en Riesgo es invariable bajo cualquier función creciente y continua $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ para cada $\alpha \in (0,1)$ es decir, $VaR_{\alpha}(f(X))=f(VaR_{\alpha}(X))$ .

Sé que para $X_1\geq X_2,\mathbb{P}-a.s. \leftrightarrow VaR_{\alpha}(X_1)\geq VaR_{\alpha}(X_2)$ . Probablemente tenga que demostrar que $VaR_{\alpha}(f(X))\geq f(VaR_{\alpha}(X))$ y $VaR_{\alpha}(f(X))\leq f(VaR_{\alpha}(X))$ .

Puedo escribir $f(X)=\tilde{X}$ y por lo tanto probablemente $\tilde{X}\geq X, \mathbb{P}-a.s.$ lo que significa $VaR_{\alpha}(f(X))\geq VaR_{\alpha}(X)$ pero entonces estoy atascado. ¿Es esta la forma correcta de empezar la prueba?

Agradezco cualquier consejo y opinión.

Answer 1

Lo más fácil sería empezar con esta definición de VaR:

$P\left[ X \le \mathrm{VaR}_\alpha\left(X\right)\right]=\alpha$

Ahora bien, si f es creciente y continua por la izquierda, entonces es fácil argumentarlo:

$P\left[ f\left(X\right) \le \mathrm{VaR}_\alpha\left(f\left(X\right)\right)\right]=\alpha$

Siguiente aplicación $f^{-1}$ a ambos lados de la desigualdad dentro de P:

$P\left[ X \le f^{-1}\left\{\mathrm{VaR}_\alpha\left(f\left(X\right)\right)\right\}\right]=\alpha$

Comparando esto con la primera ecuación, podemos deducir que

$\mathrm{VaR}_\alpha\left(X\right)=f^{-1}\left\{\mathrm{VaR}_\alpha\left(f\left(X\right)\right)\right\}$

$\Rightarrow f \left(\mathrm{VaR}_\alpha\left(X\right)\right)=\mathrm{VaR}_\alpha\left(f\left(X\right)\right)$