Maximización de una función parcialmente cóncava y parcialmente convexa

Question

Dejemos que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función dos veces diferenciable y estrictamente creciente. Supongamos que buscamos los números $x_1$ , ..., $x_n$ que maximizan

$$\sum_{i=0}^{n}{f(x_i)}$$

con la condición de que $\sum_{i=0}^{n}{x_i}=\bar{x}$ y $x_i \geq 0$ para todos $i$ .

Si $f$ es estrictamente cóncavo en todas partes, es óptimo establecer $x_i = x_j$ por cada $i$ y $j$ (para que $x_i^* = \bar{x}/n$ para todos $i$ ). Si $f$ es estrictamente convexo en todas partes, es óptimo establecer $x_i=\bar{x}$ y $x_j=0$ para un número arbitrario de $i$ y todos $j\neq i$ . Sin embargo, me interesa el caso "mixto" en el que $f$ tiene al menos una porción convexa, pero finalmente es cóncava.

En concreto, supongamos que $f$ es estrictamente cóncavo para todo $x \geq \hat{x}$ . ¿Implica esto que $x_i^* = x_j^*$ siempre que $\bar{x}$ ¿es "suficientemente grande"? Si es así, ¿cuál es precisamente la suposición que debemos hacer sobre $\bar{x}$ ? Si no es así, ¿hay algunos supuestos adicionales que podamos hacer para garantizar que $x_i^* = x_j^*$ ?

Muchas gracias de antemano.

Editar 1: Se ha señalado que $f(x_i^*)=f(x_j^*)$ siempre que $x_i^*>0$ y $x_j^*>0$ . Esto podría ser un paso útil hacia una respuesta.

Editar 2: Se me ha ocurrido que probablemente tengamos que asumir algo así como $f'(x) \rightarrow 0$ como $x \rightarrow \infty$ con el fin de garantizar que $x_i^* = x_j^*$ .

Answer 1

Si $f$ es estrictamente convexo en todas partes, es óptimo establecer $x_i =\overline x$ y $x_j =0$ para un número arbitrario de $i$ y todos $j\ne i$ .

De ello deduzco que el $x_i$ están obligados a ser no negativos?

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Utilizando la técnica del multiplicador de Lagrange con el Lagrangiano $L=\sum_i f(x_i)-\lambda (\sum_i x_i-\overline x)$ podemos concluir que los puntos estacionarios se producen cuando $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d}x}\big{|}_{x_i}=\lambda$ . Además, si algunos de los $x_i$ se asignan a cero, entonces podemos utilizar la misma técnica del multiplicador de Lagrange en todos los restantes no asignados $x_i$ .

Por lo tanto, podemos deducir que $\sum f(x_i)$ se maximiza cuando, en todos los $x_i$ que no satisfacen $x_i=0$ , $f(x)$ tiene la misma derivada.

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Como ejemplo, consideremos el caso de que $f(x)=(x-1)^3$ y $n=2$ . Si hay un máximo con $x_1$ y $x_2$ ambos distintos de cero, entonces debe ser el caso que $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=3(x-1)^2$ es el mismo en $x_1$ y $x_2$ .

Para $x_1$ y $x_2$ para ser distintos tendríamos que tener $x_1=1+\sqrt a, \ x_2=1-\sqrt a$ para alguna constante $a$ . Por lo tanto, es $\overline x \ne 2$ , entonces en el máximo $x_1=x_2$ o $x_1=0$ y $x_2=\overline x$ . Por otro lado, si $\overline x=2$ entonces, para cualquier $0\le a \le 1$ hay un máximo con $x_1=1+\sqrt a, \ x_2=1-\sqrt a$ y $\sum_i f(x_i)=0$ .

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Por último, hay un punto que me gustaría señalar sobre las funciones eventualmente cóncavas. La función graficada a continuación contiene una sección estrictamente convexa pero muy cercana a ser una línea horizontal, seguida de una sección estrictamente cóncava pero muy cercana a ser una línea recta. Incluso para una función bastante grande $\overline x$ , los máximos satisfarán $x_i=\overline x$ y $x_j=0$ para $j \ne i$ .