Probabilidad condicional del movimiento geométrico browniano

Question

He creado trayectorias utilizando GBM para implementar el método de malla estocástica. Pero el método requiere la distribución condicional, dado algún S(t) la probabilidad de S(t+1).

He buscado y no encuentro esta fórmula, ¿alguien la conoce? ¿Hay alguna otra forma de calcular la probabilidad condicional?

ACTUALIZACIÓN

Permítanme explicar un poco mejor, estoy trabajando en el método de malla estocástica El método requiere que cree N caminos en M pasos de tiempo. Para ello elijo GBM, por lo que en una simulación de un solo trayecto tengo

$$ S = S_{0}, S_{1}, ... ,S_{M} $$

A continuación tengo que calcular el valor de continuación para el que necesito Pesos

$$ w_{ij} = p_{ij} / \sum_k p_{kj} $$ $$ p_{ij} = P (S_{t + \bigtriangleup t} \in A \mid S{t} = x) $$ Esta última es la fórmula que busco para el GBM

Answer 1

1. Tenga en cuenta que $${{f}_{W(t)\left| W(s) \right.}}\left(x\left| y \right. \right)=\frac{{{f}_{ W(s),W(t)}}\left( x,y \right)}{{{f}_{ W(s)}}\left( y \right)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}\exp \left[-\frac{{{(x-y)}^{2}}}{2(t-s)} \right]$$

2. Por aplicación del lema de Ito tenemos $$ln\,S_{t+\Delta t}=ln\,S_t+\left((\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)\Delta t+\sigma(W_{t+\Delta t}-W_t)\Delta t\right)$$ En efecto, $ln\,S_{t}$ tiene una distribución normal. $$$$

3. $P(S_{t+\Delta t}<x|S_{t}<y)$ = $P(ln\,S_{t+\Delta t}<ln\,x|ln\,S_{t}<ln\,y)$

Answer 2

Aplicando el lema de Itô a la SDE de Black-Scholes e integrando desde $t$ a $t+\Delta t$ da: $$ S_{t+\Delta t} = S_t e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t}Z} $$ con $Z \sim N(0,1)$ , demostrando que $S_{t+\Delta t}$ dado $S_t$ tiene una distribución log-normal.

Entonces es sencillo escribir, para cualquier compacto $\mathcal{A} = [a_1,a_2]$ con $0 < a_1 \leq a_2$ y bajo la medida de riesgo-netral $\mathbb{Q}$

\begin{align} \mathbb{Q}\left(S_{t+\Delta t} \in \mathcal{A} \vert S_t = x\right) &= \mathbb{Q}\left( x e^{ (r-\frac{1}{2}\sigma^2)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t}Z} \in [a_1, a_2] \right) \\ &= \mathbb{Q} \left( \ln(x) + (r-\frac{1}{2}\sigma^2)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t}Z \in [\ln(a_1), \ln(a_2)] \right) \\ &= \mathbb{Q} \left( Z \in [a_1^*, a_2^*] \right) \\ &= \Phi(a_2^*) - \Phi(a_1^*) \end{align} donde hemos utilizado el hecho de que el logaritmo natural es una función biyectiva monótona creciente y hemos definido $$\Phi(x) = \text{Pr}(X \leq x), X \sim N(0,1)$$ para ser la función de distribución acumulativa normal junto con $$ a_i^* = \frac{ \ln\left(\frac{x}{a_i}\right) + \left(r - \frac{1}{2}\sigma^2\right)\Delta t }{\sigma\sqrt{\Delta t}} $$