Bienestar social y optimalidad de Pareto en un juego bayesiano

Question

En un juego de forma normal con dos jugadores, llamamos a una estrategia conjunta $s=(s_1,s_2)$ un resultado Pareto óptimo si para ninguna estrategia conjunta $s'$, para todos los jugadores $i\in\{1,2\}$, tenemos $$u_i(s')\geq u_i(s)\qquad(1)$$ y además al menos para un jugador $i$ $$u_i(s')>u_i(s).\qquad(2)$$

El bienestar social de $s$ se define como $$\sum_{i=1}^{2}u_i(s).\qquad(3)$$ Si el bienestar social de $s$ es máximo, entonces la estrategia conjunta $s$ es un óptimo social.

Quiero utilizar estas definiciones en un juego bayesiano donde las funciones de utilidad se definen como $u_i:A\times\Theta\to\mathbb{R}$, donde $A$ es el conjunto de acciones y $\Theta$ es el conjunto de tipos.

¿Podemos simplemente reemplazar $u_i(s)$ en $(1),(2),(3)$ con $u_i(a,\theta)$? ¿O debemos considerar la utilidad esperada de un jugador?

¿Cómo deberíamos escribir las definiciones si el juego está en la etapa ex-ante?

Answer 1

Si bien es un poco inusual describir un perfil estratégico como óptimo de Pareto, especialmente en el contexto de juegos bayesianos, supongo que aún puedes definir la optimalidad de Pareto en diferentes etapas de dichos juegos de la siguiente manera. Recuerda que en un juego bayesiano, una estrategia pura es una función $s_i:\Theta_i\to A_i$.

Un perfil estratégico $s(\theta)=(s_1(\theta_1),\dots,s_n(\theta_n))$ es ex ante óptimo de Pareto si \begin{equation} \mathbb E_\theta [u_i(s(\theta);\theta)]\ge \mathbb E_\theta[u_i(s'(\theta);\theta)],\quad\text{$\forall i$ y $\forall s'(\theta)$} \end{equation} donde la desigualdad anterior es estricta para algún $i$. [$\mathbb E_\theta$ significa tomar la expectativa sobre el vector de estado $\theta$.]

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Un perfil estratégico $s(\theta)=(s_1(\theta_1),\dots,s_n(\theta_n))$ es ex post óptimo de Pareto si, dada una realización particular de estados $\bar\theta=(\bar\theta_1,\dots,\bar\theta_n)$, \begin{equation} u_i(s(\bar\theta);\bar\theta)\ge u_i(s'(\bar\theta);\bar\theta),\quad\text{$\forall i$ y $\forall s'(\bar\theta)$} \end{equation} donde la desigualdad anterior es estricta para algún $i$.