Verificación de la elasticidad constante del modelo de demanda Q= aP^b

Question

"Es bien sabido" que la elasticidad de $Q$ en relación con $P$ es la constante $b$ en la ecuación $Q(P)=aP^b$ . Podemos comprobarlo utilizando la conveniente definición de elasticidad $= \frac{dQ}{dP} \frac{P}{Q}$ , podemos comprobarlo en Wikipedia.

En base a esto, cuando creo una hoja de cálculo con parámetros $b=-2$ , $a=100$ y P que van de 1 a 5 por 1, esperaba recuperar una elasticidad de -2, donde elasticidad = % de cambio en Q/ % de cambio en P. Este no es el caso. En cambio, la elasticidad varía sustancialmente a medida que varía el % de cambio de P.

Me veo obligado a concluir que "elasticidad constante" no significa un valor fijo independientemente de la magnitud del cambio de precio, sino sólo invariable con respecto al valor del precio O que tengo un error en la hoja de cálculo.

He pegado una imagen de los resultados de la hoja de cálculo a continuación. Obviamente, sin ver las fórmulas, nadie puede verificar que no tengo un error, pero tengo la esperanza de que alguien le dé una vuelta a esto por sí mismo y obtenga números muy diferentes y entonces sabré que mi falta de verificación de la elasticidad constante en esta función es un error de la hoja de cálculo.

Answer 1

El problema de tus cálculos es que tienes cambios muy grandes en el precio

Si se hicieran aumentos de precio de $1\%$ en el precio, se encontraría que la cantidad se redujo en aproximadamente $2\%$ como se muestra en el cuadro siguiente, lo que lleva a una elasticidad de aproximadamente $-2$

Si los cambios de precio fueran aún más pequeños, la elasticidad calculada se acercaría aún más a $2$ y, en cierto sentido, se busca el límite de la elasticidad a medida que se acerca el cambio de precio $0$ , que será efectivamente la constante $b=-2$

 a       b      P       Q=a*P^b pct change Q    pct change P   elasticity

100     -2      1       100.00          
100     -2      1.01     98.03      -1.97%          1%          -1.97
100     -2      2        25.00          
100     -2      2.02     24.51      -1.97%          1%          -1.97
100     -2      3        11.11          
100     -2      3.03     10.89      -1.97%          1%          -1.97
100     -2      4         6.25          
100     -2      4.04      6.13      -1.97%          1%          -1.97
100     -2      5         4.00          
100     -2      5.05      3.92      -1.97%          1%          -1.97

Answer 2

La elasticidad es la pendiente después de tomar una transformación logarítmica. A lo largo de este artículo $\log$ se refiere al logaritmo natural . Es decir, el logaritmo con base $e$ El ln en Excel. El logaritmo transforma la multiplicación en suma. Las diferencias logarítmicas son algo parecido a los cambios porcentuales (y son equivalentes para cambios pequeños).

Digamos que sí:

$$Q_t = A P_t^b$$

Toma el logaritmo de ambos lados:

$$\log Q_t = \log A + b \log P_t$$

Las diferencias logarítmicas son conceptualmente similares a los cambios porcentuales (para cambios porcentuales pequeños). La pendiente de la línea utilizando las variables transformadas logarítmicamente es $b$ . Esta es la elasticidad.

$$\frac{d \left( \log Q_t \right) }{\log P_t} = b$$

¿Por qué se tratan las elasticidades como cambios porcentuales?

$$\log(Y) - \log(X) \approx \frac{Y-X}{X} \quad \quad \text{ for }\frac{y}{x} \approx 1$$

Las diferencias logarítmicas son aproximadamente el porcentaje de cambio. ¿Por qué? Toma la expansión de taylor de primer orden del logaritmo para aproximarlo con una línea cercana a 1.

$$\begin{align*} \log(Y) &\approx \log(1) + \frac{1}{\log(1)}\left(Y - 1 \right) \\ &\approx Y - 1 \end{align*}$$ Por lo tanto, $\log\left(\frac{Y}{X} \right) \approx \frac{Y-X}{X}$ para $Y \approx X$ . Esto funciona bien para pequeños cambios, por ejemplo. $\log(1.03) = .0296$ pero se desvía bastante de los grandes cambios $\log(1.5) = .4055$ . Aquí es probablemente donde sus cosas están saliendo...

Ejemplo en el que los troncos son agradables...

Digamos que tenemos $1, 2, 4, 8$ . Cada uno de ellos supone un aumento del 100% respecto al valor anterior. Tomando los registros tenemos $0, .693, .1386, 2.079$ . Los números aumentan linealmente en $\log(2)$ . Sin embargo, si miramos los aumentos porcentuales, es menos limpio: $\frac{2-1}{1} = 100\%$ y $\frac{4-2}{2} = 100\%$ pero $\frac{4-1}{1} = 300%$ .

$$\left(1 + R_1 \right) \left(1 + R_2 \right) = 1 + R_1 + R_2 + R_1R_2$$ La gestión de los cambios porcentuales se complica cuando $R_1R_2$ es lo suficientemente grande como para importar. Sin embargo, si tomamos los troncos, dejemos que $r_1 = \log(1+R_1)$ etc...

$$\log\left((1+R_1)(1+R_2) \right)= r_1 + r_2$$

Lo que yo haría si fuera tú:

Toma un registro y entonces será limpio, y simple. Añade unas cuantas columnas a tu hoja de cálculo.

• $q_t = \log Q_t$ .
• $a = \log A$
• $p_t = \log P_t$

Entonces la ecuación es: $$q_t = a + b p_t$$

$$\frac{dq_t}{dp_t} = b$$

$$\begin{array}{rrrrr} P & Q & \log P & \log Q & \Delta \log P & \Delta \log Q & \frac{\Delta \log P}{\Delta \log Q} \\ 1 & 100 & 0 & 4.605 & \\ 2 & 25 & .6931 & 3.2189 & .6931 & -1.3863 & -2.0\\ 3 & 11.11 & 1.0986 & 2.4079 & .4055 & -.8109 & -2.0\\ 4 & 6.25 & 1.3863 & 1.8326 & .2877 & -.5754 & -2.0\\ 5 & 4 & 1.6094 & 1.3863 & .2231 & -.4463 & -2.0 \end{array}$$

$\Delta$ significa "cambio en", de ahí que $\Delta \log Q_i = \log Q_i - \log Q_{i-1}$ .