¿Si una función de utilidad es cuasi-cóncava, podemos decir que la curva de CI asociada con ella es convexa?

Question

Digamos que tenemos una función de utilidad, $ U(x,y) = \sqrt{x \cdot y} $. La curva de indiferencia asociada con esto es convexa, mientras que la función en sí misma es cuasicóncava (porque satisface $ f_{xx} f_x^2 - 2 f_{12} f_1 f_2 + f_{yy} f_y^2 $).

Entonces, ¿podemos decir que una función de utilidad es cuasicóncava si la curva de indiferencia es convexa (y viceversa)?

Answer 1

En tu ejemplo, la curva de CI no es convexa en el sentido usual de la palabra convexa cuando se aplica a conjuntos. Lo que probablemente quieres decir es que la curva de CI define implícitamente una función convexa $f$ donde $f(x) = y$.

Si esto es de hecho lo que quieres decir, entonces siempre y cuando también asumas que $U$ representa preferencias monótonas, entonces la cuasi-concavidad de $U$ implicará la 'convexidad' de la curva de CI y viceversa. En este caso, el conjunto de contorno superior de cualquier nivel de $U$ será un conjunto convexo, cuyo borde inferior es la CI 'convexa' que mencionas.