Tl;dr: informalmente: No se puede conocer el valor de la diferencia de dos variables aleatorias conociendo su suma.
Considere el siguiente conjunto $A =\{ \omega \in \Omega | W_1(t)(\omega) - W_2(t)(\omega) \in [0,1] \}$ Este conjunto se encuentra, por supuesto, en la Filtración generada por $W_1$ y $W_2$ ya que la suma de funciones medibles es medible. ¿Está este conjunto en la Filtración generada (aumentada) de $W$ ? Por eso $P(A) = 0$ (porque consideramos la filtración aumentada) o existe un conjunto borel $B$ (un conjunto que puede construirse a partir de intervalos mediante operaciones de conjuntos contables) s.t. $$\{ \omega \in \Omega | W(\omega)(t) \in B \} =A \ \mathbb{P}-a.s.$$ (no es necesario considerar los puntos de tiempo pasados ya que la filtración browniana es creciente ).
$P(A) > 0 $ desde $W_1(t)- W_2(t)\sim \mathcal{N}(0,2t) .$
Supongamos que existe tal $B$ . Entonces
$$ \{ \omega \in \Omega |W_1(t)(\omega) + W_2(t)(\omega)) \in B \}=\{ \omega \in \Omega | W_1(t)(\omega) - W_2(t)(\omega) \in [0,1] \} $$ (absorbemos el factor 0,5 en el conjunto B) Lo que equivale a:
$$ X + Y \in B \Leftrightarrow X-Y \in [0,1] \ \mathbb{P}-a.s. \ (\#)$$ donde $X,Y$ tienen una distribución normal iid. Esto equivale a
$$ Y \in B-X \Leftrightarrow Y \in [-1,0] \ \mathbb{P}-a.s.$$ Así:
$$ B-X =[-1,0], \mathbb{P}-a.s.$$
introduciendo en el LHS de (#):
$$ Y\in [-1,0] \ \mathbb{P}-a.s.$$
Lo cual es un error ya que $ Y$ se distribuye normalmente.
Así, las filtraciones no son iguales
Como ejemplo de lo incompleto: La derivada $H(t) = \mathbb{1}_{A}\mathbb{1}_{t}$ no puede ser replicado.