mercado estándar/marroniano con movimiento browniano diferente

Question

Consideremos para simplificar el siguiente mercado browniano:

$$dS^0_t= r S^0_tdt$$

$$dS^1_t= S^1_t(r dt + dW^1_t + dW^2_t)$$

donde la filtración es generada por $W^1,W^2$

Considere ahora $W_t:= \frac{1}{2}(W^1_t + W^2_t)$ que también es un movimiento browniano.

Cuando sustituyo $W_t$ en el mercado financiero anterior, habría $1$ Movimiento browniano y $1$ activo de riesgo, por lo que podría concluir que el mercado está completo. Pero eso no es correcto, ya que la completitud depende de la representación martingala, que depende de nuevo de la filtración subyacente.

Pero por qué tengo que elegir otra filtración en este contexto, ya que la filtración generada por $W^1,W^2$ es lo mismo que ser generado por $W$ ?

Answer 1

Tl;dr: informalmente: No se puede conocer el valor de la diferencia de dos variables aleatorias conociendo su suma.

Considere el siguiente conjunto $A =\{ \omega \in \Omega | W_1(t)(\omega) - W_2(t)(\omega) \in [0,1] \}$ Este conjunto se encuentra, por supuesto, en la Filtración generada por $W_1$ y $W_2$ ya que la suma de funciones medibles es medible. ¿Está este conjunto en la Filtración generada (aumentada) de $W$ ? Por eso $P(A) = 0$ (porque consideramos la filtración aumentada) o existe un conjunto borel $B$ (un conjunto que puede construirse a partir de intervalos mediante operaciones de conjuntos contables) s.t. $$\{ \omega \in \Omega | W(\omega)(t) \in B \} =A \ \mathbb{P}-a.s.$$ (no es necesario considerar los puntos de tiempo pasados ya que la filtración browniana es creciente ).

$P(A) > 0$ desde $W_1(t)- W_2(t)\sim \mathcal{N}(0,2t) .$

Supongamos que existe tal $B$ . Entonces

$$\{ \omega \in \Omega |W_1(t)(\omega) + W_2(t)(\omega)) \in B \}=\{ \omega \in \Omega | W_1(t)(\omega) - W_2(t)(\omega) \in [0,1] \}$$ (absorbemos el factor 0,5 en el conjunto B) Lo que equivale a:

$$X + Y \in B \Leftrightarrow X-Y \in [0,1] \ \mathbb{P}-a.s. \ (\#)$$ donde $X,Y$ tienen una distribución normal iid. Esto equivale a

$$Y \in B-X \Leftrightarrow Y \in [-1,0] \ \mathbb{P}-a.s.$$ Así:

$$B-X =[-1,0], \mathbb{P}-a.s.$$

introduciendo en el LHS de (#):

$$Y\in [-1,0] \ \mathbb{P}-a.s.$$

Lo cual es un error ya que $Y$ se distribuye normalmente.

Así, las filtraciones no son iguales

Como ejemplo de lo incompleto: La derivada $H(t) = \mathbb{1}_{A}\mathbb{1}_{t}$ no puede ser replicado.