"En presencia de heteroscedasticidad, los estimadores OLS son insesgados pero ineficientes"
Mostrando la imparcialidad parte es relativamente fácil. Algunos autores han explicado la ineficacia con la ayuda de la nueva varianza del estimador de mínimos cuadrados. Sin embargo, me pidieron que mostrara lo mismo utilizando la varianza del estimador de mínimos cuadrados ponderados ( $\hat{\beta^*}$ ). Procedí de la siguiente manera:-
Considera el modelo, $Y_t=\alpha+\beta X_t+u_t$ donde $u_t$ son heteroscedásticos.
Supongamos que ${\sigma _u}^2$ sea la varianza constante de $u_t$ bajo el supuesto de homocedasticidad.
Dejemos que $Var(u_t)={\sigma _t}^2$ sea la varianza de las perturbaciones bajo el supuesto de heteroscedasticidad.
En particular, supongamos que ${\sigma _t}^2=k_t {\sigma _u}^2$ , $k_t$ siendo algunos pesos constantes no estocásticos.
Ahora, consideremos el modelo anterior en forma de desviación
$y_t=\beta x_t +u_t$ , donde $y_t=Y_t-E(Y)$ , $x_t=X_t-E(X)$
$\Rightarrow \frac{y_t}{k_t}=\beta \frac{x_t}{k_t}+\frac{u_t}{k_t}$
$\Rightarrow \frac{y_t}{k_t}=\beta \frac{x_t}{k_t}+v_t$
donde $v_t$ tiene una varianza constante ${\sigma _u}^2$
Ahora, el estimador de mínimos cuadrados ponderados es $\hat{\beta^*}=\frac{\sum \frac{y_t}{k_t}\frac{x_t}{k_t}}{\sum \frac{{x_t}^2}{{k_t}^2}}$
que finalmente nos daría $Var(\hat{\beta^*})=\frac{{\sigma _u}^2}{\sum \frac{{x_t}^2}{{k_t}^2}}$
Ahora, bajo el supuesto de heteroscedasticidad, tenemos $Var(\hat{\beta})=\frac{\sum {x_t}^2{\sigma_t}^2}{(\sum {x_t}^2)^2}$
Ahora, $$\frac{Var(\hat{\beta^*})}{Var(\hat{\beta})}=\frac{{\sigma _u}^2}{\sum \frac{{x_t}^2}{{k_t}^2}}\times \frac{(\sum {x_t}^2)^2}{\sum {x_t}^2{\sigma_t}^2}$$
$$\Rightarrow \frac{Var(\hat{\beta^*})}{Var(\hat{\beta})}=\frac{{\sigma _u}^2}{\sum \frac{{x_t}^2}{{k_t}^2}}\times \frac{(\sum {x_t}^2)^2}{\sum {x_t}^2{k_t\sigma_u}^2}$$
$$\Rightarrow \frac{Var(\hat{\beta^*})}{Var(\hat{\beta})}=\frac{(\sum {x_t}^2)^2} {\sum \frac{{x_t}^2}{{k_t}^2} \sum {x_t}^2{k_t}}$$
Sin embargo, antes de seguir adelante, mi instructor me pidió que lo comprobara de nuevo. Insistía en que debía conseguir algo como $\frac{\sum (a_t b_t)^2}{\sum {a_t}^2 {b_t}^2}$ de modo que puedo utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwartz que da como resultado $Var(\hat{\beta^*})<Var(\hat{\beta})$ . Esto acabaría demostrando la *ineficacia* parte.
Como no me sale ese formulario, creo que me he equivocado. Me gustaría que alguien me lo indicara.
