Demostrar que un continuo $\succsim$ es cuasilineal

Question

Esta cuestión está estrechamente relacionada con Mas-colell, Whinston, Green: Teoría microeconómica , Pregunta 3.C.5b

Dejemos que $\succsim$ sea una relación de preferencia estrictamente monótona, continua y racional relación de preferencia sobre $(-\infty, \infty)\times \mathbb{R}^{L-1}_{+}$ . Además, supongamos que $\succsim$ es cuasilineal en buen $L$ . Vamos a escribir $x \in X$ como $x=(y,x_{L})$ donde $y \in \mathbb{R}^{L-1}_{+}$ .

Se puede demostrar que si $v(y,x_{L})$ es una función de utilidad que representa $\succsim$ , entonces hay hay un único $x_{L}(y) \in \mathbb{R}$ tal que $v(y,x_{L}(y))=0$ .

Dejemos que $\phi(y)=-x_{L}(y)$ y mostrar la función de utilidad de la forma $u(x) = x_{L} + \phi(y)$ representa $\succsim$ .

Prueba:

Para demostrar que $u(x)$ representa $\succsim$ Tengo que demostrar que para cada $x,x' \in X$ , $x'\succsim x \iff u(x') \geq u(x)$ .

Sin embargo, he encontrado un ejemplo que puede no satisfacerse: supongamos que $x$ y $x'$ son tales que $x=(y,x_{L})$ y $x'=(y',x'_{L})$ con $x\precsim x'$ , $(y,z_{L}) \precsim (y',z_{L})$ $\forall z_{L}$ y $(z,x'_{L}) \precsim (z,x_{L})$ $\forall z$ .

Estas preferencias implican:

$(y,x_{L}') \precsim (y,x_{L}) \precsim (y',x_{L}') \precsim (y',x_{L})$

Para demostrar que $u(x)$ es consistente con esto necesito mostrar que esta preferencia implica:

1. $u(y, x_{L}') \leq u(y,x_{L}) \leq u(y',x_{L}') \leq u(y',x_{L})$

y no

2. $u(y, x_{L}') \leq u(y',x_{L}') < u(y,x_{L}) \leq u(y',x_{L})$

Sin embargo, no encuentro ninguna razón por la que la 2. presente algún tipo de contradicción. Llevo dos días dándole vueltas a esto y estoy seguro de que a estas alturas estoy cometiendo algún error lógico. O bien el ejemplo que se me ha ocurrido no es válido, o debe implicar algún tipo de contradicción. Cualquier comentario será de ayuda. Y por favor, sólo pistas, no soluciones completas.

Answer 1

En primer lugar me parece que estás procediendo de una manera más complicada de lo necesario. (Tal vez sea intencionado porque desea enfrentarse a un ejercicio más difícil). Dado que se da que $v(x)$ representa $\succsim$ sólo tienes que mostrar $$ \forall x,x' \in X: v(x') \geq v(x) \iff u(x') \geq u(x). $$ Creo que esto sería mucho más sencillo que lo que está haciendo actualmente.

En cuanto a su pregunta:
La función $u(x)$ está muy bien definida, ya que $$ u(y,x_{L}) = x_{L} + \phi(y) = x_{L} - x_L(y) $$ y sabemos que $v(y,x_L(y)) = 0$ describe las curvas de indiferencia de $\succsim$ . Las condiciones que usted describe violarían esta suposición porque de $$ (y,x_{L}) \precsim (y',x_{L}') $$ se deduce que $$ v(y,x_{L}) \leq v(y',x_{L}'). $$ Podemos suponer $v(y,x_{L}) = 0$ es una transformación afín de cualquier $v(y,x_{L})$ . Así que $x_L(y) = x_{L}$ .
(No estoy loco por la notación, siéntete libre de editar mi post mientras siga siendo coherente con la pregunta).
Entonces también tenemos $0 \leq v(y',x_{L}')$ y debido a la monotonicidad esto significa $x_L(y') < x_{L}'$ .
Entonces $$ u(y',x_{L}') < u(y,x_{L}) $$ no puede sostener como $$ u(y,x_{L}) = x_{L} + \phi(y) = x_{L} - x_{L}(y) = 0 $$ y $$ u(y',x_{L}') = x_{L}' + \phi(y') = x_{L}' - x_{L}(y') > 0, $$ por lo que hemos mostrado antes, $x_L(y') < x_{L}'$ .