Dejemos que $(\Omega,\mathcal{F},P)$ sea un espacio de probabilidad y $\{W_t t 0\}$ sea un proceso proceso Wiener. Al establecer $\tau$ como tiempo de parada y definiendo \begin{align} W^*(t)=\Big\{\matrix{W_t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,t\leq\tau\cr2 W_{\tau}-W_t\,\,,\,t>\tau} \end{align} Por qué $W^*(t)$ ¿es el proceso de Wiener estándar? Quiero resolverlo por el Principio de Reflexión, ¿es correcto?
Respuestas
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Miha
Puntos
1
En primer lugar, hay que tener en cuenta que los caminos son a.s. continuos.
Entonces, por la propiedad de Markov fuerte y el principio de reflexión, $(W_\tau - W_t)$ es un movimiento browniano independiente de la parte tau anterior.
Luego se puede verificar que los incrementos son independientes y gaussianos descomponiéndolos en parte antes y después de tau.
O puedes descomponer la variación cuadrática y utilizar la caracterización de Lévy.
Si $\tau$ es finito, entonces a partir de la propiedad de Markov fuerte ambos caminos $X_t = \{W_{t+\tau} W_\tau t\geq 0\}$ y $X_t = \{(W_{t+\tau} W_\tau) t \geq 0\}$ son procesos Wiener estándar e independientes de $Y_t = \{W_t 0 \leq t \leq \tau\}$ y, por lo tanto, ambos $(X_t, Y_t)$ y $(X_t ,Y_t)$ tienen la misma distribución. Dados los dos procesos definidos en $[0, \tau]$ y $[0, \infty)$ respectivamente, podemos pegarlos como sigue:
\begin{align} (Y,X)\rightarrow\{\,(X_{t-\tau}+W_t)1_{\{t>\tau\}}+Y_t 1_{\{t\leq\tau\}}+:t\geq0\} \end{align} Así, el proceso que surge de pegar $Y_t$ a $X_t$ tiene la misma distribución, que es $\{W_t t \geq 0\}$ Por el contrario, el proceso derivado de pegar $Y_t$ a $-X_t$ es $\{W_t^* t 0\}$ .así, $\{W_t^* t 0\}$ es también un proceso Wiener estándar.
