¿Cómo calcular las grietas mediante el enfoque de Monte Carlo adjunto?

Question

Supongamos que tengo una EDO estocástica $$dS = a(S)dt + b(S)dW,$$ con la aproximación de Euler $$\hat{S}_{n+1}=F_n(\hat{S}_n)=\hat{S}_n+a(\hat{S}_n)h+b(\hat{S}_n)Z_n\sqrt{h}.$$ Esto me permite crear rutas de muestreo basadas en la extracción de números aleatorios normalmente distribuidos $Z_n$ de $N(0,1)$ .

Ahora el valor estimado de mi opción es $$\hat{V}=\frac{1}{N}\sum_i f(S^i_T)$$ donde $f$ es la función de recompensa y $S^i_T$ es la i-ésima ruta de muestreo del proceso en el tiempo $T$ .

Supongamos que la ODE y $f$ tienen varios parámetros, por ejemplo el valor inicial $S_0$ Tipo de interés sin riesgo $r$ y la volatilidad $\sigma$ . Además, f es suficientemente continua como para que las derivadas

$$D_n=\frac{\partial F_n(\hat{S}_n)}{\partial \hat{S}_n }$$

existe.

A partir de estas cantidades, ¿cómo puedo calcular las sensibilidades utilizando el método adjunto ?

Enlaces:

• Pregunta relacionada: ¿Cómo conseguir griegos usando Monte-Carlo para la opción arbitraria?
• Papel relacionado: Smoking Adjoints: evaluación rápida de griegas en los cálculos de Monte Carlo, Giles y Glasserman, 2005

Answer 1

En nuestro documento exponemos un esquema general para hacer este tipo de cosas

http://ssrn.com/abstract=1401094

y su secuela

http://ssrn.com/abstract=1437847

Aunque el caso estudiado es diferente, las técnicas son las mismas. También analizo en detalle todo el proceso en un capítulo de More Mathematical Finance.

El método adjunto, cuando se aplica, suele ser mejor que otras alternativas como la razón de verosimilitud y el cálculo de Malliavin.

Answer 2

Si quieres un ejemplo sencillo que puedes reproducir fácilmente en una hoja de cálculo, mira la sección 3 del artículo "Adjoints and automatic (algorithmic) differentiation in computational finance" de Christian Homescu. La tabla 1 es errónea, pero debería ser capaz de generar los mismos números utilizando los 4 métodos

1) Diferencia finita 2) Paso complejo 3) Tangente lineal 4) Adjunto

Buena suerte.