Supongamos que tengo una EDO estocástica $$dS = a(S)dt + b(S)dW,$$ con la aproximación de Euler $$\hat{S}_{n+1}=F_n(\hat{S}_n)=\hat{S}_n+a(\hat{S}_n)h+b(\hat{S}_n)Z_n\sqrt{h}.$$ Esto me permite crear rutas de muestreo basadas en la extracción de números aleatorios normalmente distribuidos $Z_n$ de $N(0,1)$ .
Ahora el valor estimado de mi opción es $$\hat{V}=\frac{1}{N}\sum_i f(S^i_T)$$ donde $f$ es la función de recompensa y $S^i_T$ es la i-ésima ruta de muestreo del proceso en el tiempo $T$ .
Supongamos que la ODE y $f$ tienen varios parámetros, por ejemplo el valor inicial $S_0$ Tipo de interés sin riesgo $r$ y la volatilidad $\sigma$ . Además, f es suficientemente continua como para que las derivadas
$$D_n=\frac{\partial F_n(\hat{S}_n)}{\partial \hat{S}_n } $$
existe.
A partir de estas cantidades, ¿cómo puedo calcular las sensibilidades utilizando el método adjunto ?
Enlaces:
