Modelo estocástico de volatilidad local significa $dS_t/S_t=...dt+\sigma_t L(S_t,t)dW_t$ con $\sigma_t$ el estocástico parte (modelada, por ejemplo, como en el modelo Heston, o cualquier otra dinámica que se considere apropiada) y $L(S_t,t)$ el local parte.
La parte local $L(S_t,t)$ se calcula a partir de la "teoría unificada de la volatilidad de Dupire", que establece que $$ σ_{\text{local}}(S,t)^2 =E[(σ_tL(S_t,t))^2|S_t=S] = E[σ_t^2|S_t=S]L(S,t)^2 $$ para que $$ \boxed{L(S,t)^2 = \frac{σ_{\text{local}}(S,t)^2}{E[σ_t^2|S_t=S]}} $$ $σ_{\text{local}}(S,t)$ es la volatilidad local calculada a partir del implícito superficie de volatilidad utilizando la fórmula de Dupire, y $E[σ_t^2|S_t=S]$ puede calcularse eficientemente utilizando, por ejemplo, un esquema de diferencias finitas 2D ADI para la ecuación de Fokker Planck (también conocida como ecuación de Kolmogorov avanzada) asociada al modelo.
Por lo tanto, con un modelo de volatilidad local estocástica se puede tener una dinámica estocástica realista para la volatilidad instantánea y, al mismo tiempo, un ajuste perfecto de la superficie de volatilidad implícita actual, lo que significa que el modelo valora de forma coherente las opciones vainilla y, a diferencia de los modelos de volatilidad local puros, hace un trabajo decente a la hora de valorar las opciones exóticas que dependen de la dinámica de la volatilidad futura.
