Ayuda con este ejercicio de microeconomía

Question

La pregunta:

Un agricultor que toma el precio produce una cosecha con el trabajo L como único insumo. Su función de producción es: $$F(L) = 10L^{1/2} 2L$$

Tiene 4 unidades de trabajo en su familia y no puede contratar mano de obra en el mercado de trabajo asalariado. Él no se enfrenta a ningún coste por emplear mano de obra familiar.

a. Averiguar su nivel de producción de equilibrio.

b. Supongamos que el gobierno impone un impuesto sobre la renta al tipo del 10 por ciento. ¿Cómo afecta esto a su producción de equilibrio?

c. Supongamos una tecnología de producción alternativa dada por: $$F(L) = 11 L^{1/2} L 15$$ está disponible. ¿Adoptará el agricultor esta tecnología alternativa?

Mi enfoque:

a. Como el coste es 0 y el agricultor es tomador de precios, tratará de maximizar su producción, diferenciando FOC F(L) nosotros L=6,25 donde la función es máxima. Pero puede emplear L=4, por lo que su nivel de producción de equilibrio será 4

b. Beneficio cuando se le aplica el impuesto $$R(P,L)=PF(L)-0.1PF(L)=.9PF(L)$$ de nuevo maximizará su producción y por FOC L=6,25 pero empleará sólo L=4 porque es su límite máximo para L ,así que el equilibrio fuera no cambiará incluso después de impuestos.

c. no adoptará la nueva tecnología porque si ponemos L=4 en la nueva función de producción entonces F(L)=3 que es menor que la producción de su tecnología anterior.

¿Es correcto mi planteamiento para las tres partes?

Answer 1

Dada la función de producción \begin{eqnarray*} F(L) = 10 \sqrt{L} - 2L \end{eqnarray*} el producto marginal es \begin{eqnarray*} F'(L) = \frac{5}{ \sqrt{L}} - 2 \end{eqnarray*} Dado que no hay ningún coste para la familia por utilizar su propia mano de obra y no puede contratarla de fuera, la familia maximizará su producción sujeta a la restricción de que tiene 4 unidades de mano de obra. \begin{eqnarray*} \max_{L\geq 0} && 10 \sqrt{L} - 2L \\ \text{s.t.} && L \leq 4 \end{eqnarray*} Dado que $F'(L)$ está cayendo en $L$ y es positivo en $L = 4$ $(F'(4) = 0.5)$ La familia utilizará las 4 unidades en forma óptima. La salida correspondiente es $10\sqrt{4} - 2(4) = 12$ .

Con $10\%$ impuesto sobre la renta, el objetivo de la empresa será maximizar la producción total sin impuestos, que es igual a $0.9 F(L)$ . La solución a este problema seguirá siendo la misma que antes porque sólo estamos multiplicando el objetivo por una constante positiva.

\begin{eqnarray*} \max_{L\geq 0} && 0.9(10 \sqrt{L} - 2L) \\ \text{s.t.} && L \leq 4 \end{eqnarray*}

Por lo tanto, la producción de equilibrio sigue siendo $10\sqrt{4} - 2(4) = 12$ de los cuales 1,2 se pagan como impuestos y 10,8 se consumen.

Con la nueva tecnología el problema es \begin{eqnarray*} \max_{L\geq 0} && 11 \sqrt{L} - L - 15\\ \text{s.t.} && L \leq 4 \end{eqnarray*}

El problema anterior vuelve a dar $L = 4$ como solución y la correspondiente producción de equilibrio es $3$ que es mucho menos de lo que la familia tenía antes. Por lo tanto, no utilizará esta tecnología.