¿Debería estudiar Análisis Complejo y/o Variables en la universidad?

Question

No he estipulado deliberadamente el tipo de trabajo de Quant, ya que estoy preguntando en general. Este comentario de r/quant responde a "¿para qué se utiliza el análisis complejo en las finanzas cuantitativas?":

Algunos modelos de fijación de precios, y algunos análisis de distribuciones. Por ejemplo Valoración de opciones mediante la transformada rápida de Fourier por Peter Carr y Dilip B. Madan tiene 2207 citas según Google.

Pero, ¿se puede aprender el Análisis Complejo y/o las Variables por cuenta propia? ¿O hay que estudiarlos en la universidad? Supongo que el Análisis Complejo y las Variables se diferencian como el cálculo multivariable regular y el de honor. Foros de Física :

La impresión que tengo es que la clase de Variables Complejas se ocupa más de la computación y el cálculo utilizando números complejos (algo que como físico puede tener que hacer mucho). Y la clase de Análisis Complejo tratará más sobre el desarrollo de la teoría de los números complejos y su uso en el cálculo y demás. Un curso de análisis complejo se ocupará sobre todo de demostrar cosas, mientras que imagino que la clase de variables complejas tratará sobre el uso de los números complejos para ayudar en el cálculo.

En mi clase de análisis complejo de grado, repasamos todo el curso de variables complejas en un día y medio. En otras palabras, el curso de variables es una especie de prerrequisito para el curso de análisis. Dependiendo de tu familiaridad con el plano complejo, algo de topología y cálculo, probablemente podrías entrar directamente en la clase de análisis. Es ciertamente más agradable.

Dr. Transporte escribió

A menos que hagas un doctorado en Física Matemática, una clase a prueba de teoremas en mi opinión no sería tan útil. Yo soy un teórico y no he tenido necesidad de ese nivel de rigor matemático.

Mathwonk escribió

No soy físico, soy matemático, pero he impartido esos dos cursos. Me imagino que para ti es más útil el curso aplicado. Es decir, probablemente prefieras entender cómo utilizar el análisis complejo que cómo demostrar los teoremas.

Andy Nguyen lo desaconseja:

El análisis complejo tiene poca o ninguna utilidad en el programa FE. Sería mejor que pasaras el verano trabajando en tu C++.

Vic_Siqiao :

el análisis complejo no tiene un uso directo en la EF, pero ayuda a veces a hacer cálculos con variables complejas. y creo que algunos temas como el teorema del residuo son importantes, que me preguntaron en una entrevista del programa de matemáticas financieras.

macroeconomicus :

Creo que el cálculo estocástico le dará un mejor beneficio/coste en esta etapa. El cálculo estocástico se utiliza mucho en la fijación de precios de los activos y en las finanzas matemáticas, y supongo que en algunas otras asignaturas de economía (¿macro quizás?). El análisis complejo se utiliza un poco en probabilidad avanzada para trabajar con funciones características y tal, y también para algunas cosas en series temporales, pero probablemente no necesites hacer un curso completo de análisis para seguir. He oído que puedes cogerlo por el camino.

Answer 1

En el contexto de las finanzas matemáticas y la economía financiera, surgen naturalmente análisis complejos en la fijación de precios de los derivados. En concreto, algunos modelos imponen que la función característica condicional del subyacente sea afín en todas las variables de estado. En esos casos, generalmente se puede obtener una fórmula casi analítica para la fijación de precios de las opciones europeas en la que se evalúa una integral cuyo integrando es una función de la función característica condicional del subyacente. Es algo así: \begin{equation} \int_0^\infty \text{Imag}\left( g \circ \psi(\phi - i) \right) d\phi \end{equation} Debido a la función característica condicional $\psi(.)$ , $g \circ \psi(\phi - i)$ va a ser de valor complejo, por lo que escupe números de la forma $a+bi$ donde $i^2 = -1$ . En realidad sólo estás trabajando con una red de $\phi'$ s y una red correspondiente de $b'$ cuando buscas aproximar numéricamente esta integral... Por lo tanto, no es necesario un curso completo de análisis complejo para entender esto.

Otro lugar donde se encuentra el análisis complejo es en la econometría de las series temporales. La razón es que se puede pensar en una serie temporal en el espacio temporal, al igual que en el espacio de la frecuencia. He visto a mucha gente intentando sacar adelante documentos sobre este tema, pero es el tipo de documento que casi nadie lee, y menos aún utiliza en la práctica.

Mi consejo: si vas a dedicar tiempo a algo, dedícalo al cálculo estocástico y la programación informática. ¿Por qué? El cálculo estocástico es la lingua franca de la fijación de precios derivados, por lo que casi no importa lo que hagas, te será útil. En cuanto a la programación informática, tienes que ser capaz de resolver problemas numéricamente, así como de implementar soluciones analíticas. No hay nada como ensuciarse las manos, intentando hacer todo, desde la teoría hasta la calibración, pasando por los datos, para entender cómo funcionan los modelos (y a veces no funcionan).

Answer 2

Me gustó mucho el curso de análisis armónico que tuve en la escuela de posgrado hace décadas. ¿Pero es útil para las finanzas? He mirado el documento Silke Prohl Análisis armónico para Finanzas Matemáticas . y parece divertido (no lo he leído en detalle, espero hacerlo en otro momento) pero no veo la relevancia financiera inmediata.