He leído lo siguiente papel por Gatheral y Jacquier y tienen varias preguntas sobre la calibración de una superficie de volatilidad de forma libre de arbitraje y algunos aspectos teóricos. Permítanme primero introducir algunas notaciones. Definen el log strike como
$$k:=\log{\frac{K}{F}}$$
donde $F$ denota el avance. Además, $\sigma_{BS}(k,t)$ denota la volatilidad Black-Scholes implícita con el strike $k$ y la madurez $t$ y
$$w(k,t):=\sigma_{BS}^2(k,t)t$$
la llamada varianza total implícita. Con $\theta_t:=\sigma_{BS}^2(0,t)t$ denotamos la varianza total implícita en el dinero. A continuación se presentan diferentes parametrizaciones de un solo corte en la superficie, es decir, sin depender de $t$ . Mi primera pregunta:
1. Pregunta: ¿Por qué los autores utilizan la varianza total implícita en lugar de la directamente observable $\sigma_{BS}(k,t)$ para la parametrización? ¿Existe alguna ventaja/significado de ello? Naturalmente, yo ajustaría un modelo a la volatilidad implícita
Hay tres parametrizaciones de una sola superficie de deslizamiento:
- IVS en bruto: Para un conjunto de parámetros $\xi_R:=\{a,b,\rho,m,\sigma\}$ la parametrización en bruto viene dada por: $$ w(k,\xi_R):=a+b\left(\rho(k-m)+\sqrt{(k-m)^2+\sigma^2}\right)$$
- natural del IVS: Para un conjunto de parámetros $\xi_N:=\{\Delta,\mu,\rho,\omega,\zeta\}$ la parametrización natural viene dada por: $$ w(k,\xi_N):=\Delta+\frac{\omega}{2}\left(1+\zeta\rho(k-\mu)+\sqrt{(\zeta(k-\mu)+\rho)^2+(1-\rho^2)}\right)$$
- Alas de salto SVI (SVI_JW): Para un tiempo de caducidad determinado $t >0$ y un conjunto de parámetros $\xi_J:=\{v_t,\psi_t,p_t,c_t,\tilde{v_t}\}$ la parametrización IVS-JW La parametrización se da en los parámetros de IVS en bruto: $$\begin{align} v_t &= \frac{a+b\left(-\rho m+\sqrt{m^2+\sigma^2}\right)}{t}\\ \psi_t &=\frac{b}{2\sqrt{w_t}}\left(-\frac{m}{\sqrt{m^2+\sigma^2}}+\rho\right)\\ p_t &= \frac{b}{\sqrt{w_t}}(1-\rho)\\ c_t &= \frac{b}{\sqrt{w_t}}(1+\rho)\\ \tilde{v_t} &= \frac{1}{t}\left(a+b\sigma\sqrt{1-\rho^2}\right)\\ \end{align}$$ donde $w_t:=v_tt$ .
2. Pregunta: ¿Por qué es una ventaja tener una dependencia del tiempo de caducidad $t$ en la parametrización SVI-JW? Por lo que veo, sigues ajustando el modelo a un tramo determinado en todas las parametrizaciones anteriores, es decir: Fijas el tiempo hasta el vencimiento y ajustas el modelo a las comillas observadas. Así que también podrías introducir un parámetro de tiempo hasta el vencimiento en el IVS crudo/natural.
Los autores introducen ahora una nueva parametrización para una superficie completa, el SSVI.
- SSVI: Para una función suave $\phi$ (con algunas propiedades adicionales) la parametrización SSVI viene dada por: $$ w(k,\theta_t):=\frac{\theta_t}{2}\left(1+\rho\phi(\theta_t)k+\sqrt{(\phi(\theta_t)k+\rho)^2+(1-\rho^2)}\right)$$ una opción común es $\phi(\theta) = \frac{\eta}{\theta^\gamma(1+\theta)^{1-\gamma}}$
Son traducciones de cómo convertir una parametrización en otra.
3. Pregunta: ¿Es correcto que el SSVI intente ajustar toda una superficie y no un solo trozo a la vez?
Mi última pregunta se refiere más a la calibración real. Para la parametrización bruta y natural se trataría de encontrar los parámetros óptimos para que $$\sum_{i=1}^n(w(k_i,\xi_R)-w(k_i)_{market})^2$$ se minimiza, donde $w(k_i)_{market}$ son las comillas de mercado observadas (calculadas a partir de $\sigma_{BS}$ ) para la huelga $k_1,\dots,k_n$ por un tiempo determinado hasta el vencimiento $t$ .
Ahora, para el SSVI, si realmente se trata de ajustar toda la superficie, ¿qué función está minimizando?
$$\sum_{t_i}\left(\sum_{i=1}^n(w(k_i,\theta_{t_i})-w(k_i,t_i)_{market})^2\right)$$ ¿donde también se suman los vencimientos?
4. Pregunta: ¿Cómo es la función de minimización del SSVI? Parece que los autores están utilizando todavía para un tiempo fijo hasta la expiración $t_i$ una parametrización de la tajada y luego compararla con la tajada anterior / siguiente, ejecutar una calibración adicional si es necesario para evitar el arbitraje de la dispersión del calendario. Véase la página 21 "Un ejemplo de receta de calibración del IVS" .
