Modelo simple de equilibrio general de bienes públicos: ¿Intuición?

Question

• Suponemos una economía de dos personas, denotadas por las personas A y B. El bien y es un bien privado ordinario, y cada persona comienza con una asignación de este bien dada por $y^{A*}$ & $y^{B*}$ respectivamente.

• Cada persona puede consumir una parte de y directamente o dedicar una parte a la producción de un único bien público, x. Las cantidades aportadas vienen dadas por $y_{s}^{A}$ y $y_{s}^{B}$ y el bien público tiene una función de producción definida por $$x=f\left(y_{s}^{A}+y_{s}^{B}\right)$$

• Se dan las utilidades resultantes para estas dos personas: $$\begin{array}{c}{U^{A}\left(x, y^{A *}-y_{s}^{A}\right)} \\ {U^{B}\left(x, y^{B *}-y_{s}^{B}\right)}\end{array}$$

• Las condiciones necesarias para la asignación eficiente de recursos en este problema consisten en la elección de los niveles de suscripción de bienes públicos ( $y^{A*}$ & $y^{B*}$ ) que maximizan, digamos, la utilidad de A para cualquier nivel de utilidad de B. La expresión lagrangiana es $$\mathscr{L}=U^{A}\left(x, y^{A *}-y_{s}^{A}\right)+\lambda\left[U^{B}\left(x, y^{B *}-y_{s}^{B}\right)-K\right]$$ donde K es un nivel constante de la utilidad de B. Las condiciones de primer orden para el máximo son $$\begin{aligned} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial y_{s}^{A}} &=U_{1}^{A} f^{\prime}-U_{2}^{A}+\lambda U_{1}^{B} f^{\prime}=0 \\ \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial y_{s}^{B}} &=U_{1}^{A} f^{\prime}-\lambda U_{2}^{B}+\lambda U_{1}^{B} f^{\prime}=0 \end{aligned}$$

• La comparación de estas dos ecuaciones da como resultado $$\lambda U_{2}^{B}=U_{2}^{A}$$ y al sustituir en la ecuación anterior el resultado final es: $$\frac{U_{1}^{A}}{U_{2}^{A}}+\frac{\lambda U_{1}^{B}}{\lambda U_{2}^{B}}=\frac{1}{f^{\prime}}$$ o más simplemente, $$M R S^{A}+M R S^{B}=\frac{1}{f^{\prime}}$$

Para estos bienes, el MRS en el consumo debe reflejar la cantidad de y que todos los consumidores estarían dispuestos a renunciar para obtener una x más, porque todos obtendrán los beneficios de la producción extra de x. Por lo tanto, es la suma de las MRS de cada individuo la que debe equipararse a dy/dx en producción (aquí dada por $\frac{1}{f'}$ ).

P: Sigo el orden de las operaciones matemáticamente pero no entiendo la afirmación en negrita.

Answer 1

Se puede tomar el MRS como la disposición a pagar (tomar el otro bien en el MRS como dinero). Si el bien es un bien privado que cuesta 3, tu disposición a pagar debería ser 3 porque lo estás comprando para ti. Sin embargo, un bien público es utilizado por todos los pagadores, por lo que sólo necesitamos que la suma de las voluntades de pago sea igual a 3. (Simplemente estás repartiendo la factura)