Calcular la variante de control para la simulación monte carlo

Question

Para un ejercicio necesito calcular $\mathbb{E}[X]$ con una simulación de Monte Carlo. Necesito utilizar la variante de control $Y$ con $\text{Var}(Y)=2$ y $\text{Cov}(X,Y)=1$ .

Me piden que dé la opción óptima para $\theta$ en la siguiente fórmula:

$Z_{\theta}=X+\theta(\mathbb{E}[Y]-Y)$ haciendo que la varianza del estocástico $Z_{\theta}$ lo más pequeño posible.

Supongo que se empieza por reescribir $\text{Var}(Z_{\theta})$ Esto es lo que hice:

$\text{Var}(X+\theta(\mathbb{E}[Y]-Y))$

$=\text{Var}(X)+\text{Var}(\theta(\mathbb{E}[Y]-Y)) + 2\text{Cov}(X,\theta(\mathbb{E}[Y]-Y))$

$= \text{Var}(X) +\theta^2\text{Var}(\mathbb{E}[Y]-Y) +2\theta \text{Cov}(X,\mathbb{E}[Y]) -2\theta\text{Cov}(X,Y) $

$= \text{Var}(X) +\theta^2\text{Var}(\mathbb{E}[Y]) +\theta^2\text{Var}(Y) -\theta^2\text{Cov}(\mathbb{E}[Y], Y) +2\theta \text{Cov}(X,\mathbb{E}[Y]) -2\theta\text{Cov}(X,Y) $

Como no puedo reescribir más la fórmula, he insertado las variables. Esto dio:

$= \text{Var}(X) +\theta^2\text{Var}(\mathbb{E}[Y]) +2 \theta^2 -\theta^2\text{Cov}(\mathbb{E}[Y], Y) +2\theta \text{Cov}(X,\mathbb{E}[Y]) -2\theta $

No sé, sin embargo, cómo seguir a partir de aquí, sin el valor de $\mathbb{E}[X]$ . ¿Estoy haciendo algo mal?

Answer 1

El primer objetivo es minimizar la varianza mediante la elección de una variante de control adecuada.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que un valor de expectativa es sólo una constante, por lo que la covarianza entre un valor de expectativa y una variable aleatoria es cero:

$$\text{Cov}\left(\mathbb{E}[Y], X\right) = 0$$

Lo mismo ocurre con la varianza de un valor de expectativa, $\text{Var}(\mathbb{E}[Y])=0$ . La varianza de $Z_{{\theta}}$ viene dada, por tanto, por

$$\text{Var}(\mathbb{E}[Z_{{\theta}}]) = \text{Var}(\mathbb{E}[X])+2\theta^2 - 2\theta$$

No hace falta que sepas qué es esta varianza. Lo que te interesa es elegir un $\theta$ de manera que esta varianza sea lo más baja posible. Dicho de otro modo, se quiere minimizar esta varianza, lo que se consigue fijando la derivada con respecto a $\theta$ igual a cero. La derivada viene dada por

$$\frac{d\text{Var}(\mathbb{E}[Z_{\theta}])}{d\theta} = 4\theta -2$$

Si se pone a cero, se obtiene $\theta = \frac{1}{2}$ .

Así que ahora ha determinado el óptimo $\theta$ . A continuación, hay que realizar una simulación de Monte Carlo y simular $X$ y $Y$ de manera consistente. A partir de estas simulaciones se puede estimar $\mathbb{E}[Y]$ utilizando la media muestral de $Y$ (o, mejor, la verdadera media, si es que la conoces analíticamente). Con esta expectativa se puede construir la variable $Z_{\theta}$ con $\theta = 1/2$ para cada uno de sus $N$ simulaciones.

Por último, se calcula la media muestral de $Z_{\theta}$ que es una estimación del valor esperado de $X$ .