Podemos calcular el precio de las acciones mediante la ecuación $\frac{dS_t}{dt} = \mu dt + \sigma dB_t$ donde $B_t$ es un movimiento browniano.
Primero creo una cartera que consiste en $\Phi$ unidades de acción y $\phi$ unidades de efectivo. Denotemos la cantidad de acciones y efectivo en el momento t como $\Phi_t$ , $\phi_t$ Entonces, el valor de la cartera en el momento t $(V_t)$ será la suma del valor de las acciones de las acciones $(_t*S_t)$ y la cantidad de interés real que se puede ganar por poseer el efectivo durante dt cantidad de tiempo $(rP dt)$ para que $V_t = \Phi_t S_t + \phi_t r P dt$ . Hago los cálculos sin utilizar el teorema de Girsanov y obtengo la ecuación de Black-Scholes: $\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + r S_t \frac{\partial V}{\partial x} - r V = 0 $ . Para $\mu \ne 0$ El proceso $S_t$ no es una martingala, ¿verdad? En muchas bibliografías los autores utilizan el teorema de Girsanov y Novikov algo que yo no he utilizado. No puedo entender la diferencia entre mi solución y la otra. ¿Puede alguien ayudarme? Espero no haberte confundido.
